Calcule a integral tripla

∭ U z 3 x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

Onde U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 , z ≥ 0 , usando coordenadas esféricas.

Passo 1

Ele já tá pedindo direto pra usar coordenadas esféricas, então vamos lembrar como é:

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Então nossa integral vai ser escrita assim:

∭ U z 3 x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z = ∭ U - ρ cos ⁡ φ 3 ρ 2 3 / 2 ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

⇒ ∭ U - ρ 2 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

Que parece razoavelmente tranquilo de calcular, vamos só ver os limites do domínio antes.

Passo 2

A gente tem a região entre as duas esferas uma de raio 1 e outra de raio 2 , o que nos dá:

1 ≤ ρ ≤ 2

Mas só a parte de z positivo, então ficamos com:

0 ≤ φ ≤ π 2

Como não temos nenhuma outra restrição, vamos ter 0 ≤ θ ≤ 2 π mesmo. E nossa integral vai ficar assim:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

Agora é só calcular!

Passo 3

Como só temos constantes, a ordem que fizermos aqui não vai importar, então:

θ │ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d ρ d φ

⇒ 2 π ρ 3 3 │ 1 2 ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ = 2 π 2 2 - 1 3 ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Que agora a gente resolve fazendo a sustituição:

u = cos ⁡ φ → d u = - sen ⁡ φ d φ

Então, vamos ter:

2 π 2 2 - 1 3 ∫ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ = 2 π 2 2 - 1 3 ∫ - u 3 d u

⇒ 2 π 2 2 - 1 3 ∙ - u 4 4 = π 2 2 - 1 6 - cos 4 ⁡ φ

Aplicando os limites de integração:

π 2 2 - 1 6 - cos 4 ⁡ φ │ 0 π 2 = π 2 2 - 1 6 - 0 4 - 1 4

⇒ π 2 2 - 1 6

E chegamos lá, tudo resolvido!

Resposta

π 2 2 - 1 6

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Identifique a superfície com a equação dada. ρ cos ⁡ ϕ = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2