Seja T o sólido interior ao cone x 2 + y 2 = 3 z 2 abaixo do plano z = 1 e considere a integral

I = ∭ T x 2 + y 2   d V

b) forneça uma expressão para I em coordenadas esféricas.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

O problema nos pede para calcularmos o volume I delimitadoa por um sólidosolido interno a um cone (o próprio cone) dado pelas equações:

T = x 2 + y 2 = 3 z 2   z = 1  

Calcularmos isso em coordenadas esféricas. Que tal vermos como essa região é?

É essa região cônica vermelha.

E bom, é pedido para fazermos essa integral por coordenadas esféricas. Como elas são?

E com elas conseguimos obter a nossa transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.

Mas a vida seria muito fácil se pudéssemos trocar as coordenadas assim, e ela é? Nesse caso não hashua. Para que possamos trocar coordenadas, há um fator chamado de jacobiano J , ele que permite que olhemos um problema em uma coordenada para outra sem perda de generalidade.

Então ok, resumindo temos que achar o jacobiano das coordenadas esféricas, achar os limites de integração e achar a função f x , y , z = x 2 + y 2 em coordenadas esféricas. Bora lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Vamos achar o jacobiano das coordenadas esféricas. Como ele é calculado?

J = ∂ x , y , z ∂ ρ , θ , ϕ = d e t ∂ x ∂ ρ   ��� x ∂ θ   ∂ x ∂ ϕ   ∂ y ∂ ρ   ∂ y ∂ θ   ∂ y ∂ ϕ   ∂ z ∂ ρ   ∂ z ∂ θ   ∂ z ∂ ϕ  

Realizando as derivadas, temos:

J = d e t s i n s i n   ϕ   c o s c o s   θ     - ρ s i n s i n   ϕ   s i n s i n   θ     ρ c o s c o s   ϕ   c o s c o s   θ     s i n s i n   ϕ   s i n s i n   θ     ρ s i n s i n   ϕ   c o s c o s   θ     ρ c o s c o s   ϕ   s i n s i n   θ     c o s c o s   ϕ     0   - ρ s i n s i n   ϕ    

Achando o determinante, vemos que:

J = - ρ 2 s i n s i n   ϕ   = ρ 2 s i n s i n   ϕ  

E achamos então o Jacobiano das coordenadas esféricas.

Passo 3

Obrigado por vir.

Vamos então achar os limites de integração de ρ , ϕ   e θ das coordenadas esféricas?

Primeiramente vemos, de acordo com a imagem do Volume, que o ângulo θ é completo, ou seja, roda 0 até 2 π , assim:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E ϕ ? Bom, temos a equação x 2 + y 2 = 3 z 2 , e como sabemos, o ângulo ϕ é o ângulo entre o eixo z e a função, que nesse caso é x 2 + y 2 = 3 z 2 . OK, então:

x 2 + y 2 = 3 z 2

Somando + z 2 em ambos os lados:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 z 2

Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 , logo:

ρ 2 = 4 z 2

Substituindo z = ρ c o s c o s   ϕ  

ρ 2 = 4 * ρ 2 ϕ  

Dividindo por ρ e isolando c o s c o s   ϕ  

1 4 = ϕ  

1 2 = c o s c o s   ϕ  

Logo vemos que:

ϕ = 1 2   = π 3

Assim:

0 ≤ ϕ ≤ π 3

E por fim, para ρ . Achamos na determinação de ϕ que:

ρ 2 = 4 z 2

Logo:

ρ = 2 z

Mas pela segunda equação que limita o crescimento do nosso volume, temos z = 1 , logo:

ρ = 2

Mas o que era 2 ?

1 2 = c o s c o s   ϕ   → 2 = 1 c o s c o s   ϕ  

Pois nesse caso então ρ cresce de acordo com o ângulo. Assim:

0 ≤ ρ ≤ 1 c o s c o s   ϕ    

Resumindo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 3

0 ≤ ρ ≤ 1 c o s c o s   ϕ  

Agora vamos achar a nossa função f x , y , z = x 2 + y 2 em coordenadas esféricas?

Passo 4

Temos então:

f x , y , z = x 2 + y 2

Temos que fazer f x , y , z → f ρ , θ , ϕ . Para isso, sabemos que:

x = ρ s i n s i n   ϕ   c o s c o s   θ  

y = ρ s i n s i n   ϕ   s i n s i n   θ  

Logo:

f x , y , z = x 2 + y 2 → f ρ , θ , ϕ = ρ s i n s i n   ϕ   c o s c o s   θ   2 + ρ s i n s i n   ϕ   s i n s i n   θ   2

Que é:

f ρ , θ , ϕ = ρ s i n s i n   ϕ   c o s c o s   θ   2 + ρ s i n s i n   ϕ   s i n s i n   θ   2 = ρ 2 ϕ   θ   + ρ 2 ϕ   θ  

Podemos fatorar ρ 2 ϕ   , né?

f ρ , θ , ϕ = ρ 2 ϕ   θ   + ρ 2 ϕ   θ   = ρ 2 ϕ   θ   + θ  

Usando que θ   + θ   = 1 e tirando a raiz de ρ 2 ϕ   :

f ρ , θ , ϕ = ρ 2 ϕ   θ   + θ   = ρ s i n s i n   ϕ  

E achamos então a nossa função f z , y , z em coordenadas esféricas.

Parece que já temos tudo então, vamos para a integração

Passo 5

Assim, temos:

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 c o s c o s   ϕ   f ρ ,   θ ,   ϕ   J ρ ,   θ , ϕ d ρ d ϕ d θ

Substituindo f ρ ,   θ ,   ϕ   J ρ ,   θ , ϕ :

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 c o s c o s   ϕ   ρ s i n s i n   ϕ     ρ 2 s i n s i n   ϕ   d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 c o s c o s   ϕ   ρ 3 ϕ     d ρ d ϕ d θ

Integrando em ρ

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 c o s c o s   ϕ   ρ 3 ϕ     d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ρ 4 4 0 1 c o s c o s   ϕ   ϕ     d ϕ d θ

Vemos que:

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ρ 4 4 0 1 c o s c o s   ϕ   ϕ     d ϕ d θ = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 1 c o s c o s   ϕ   4 ϕ     d ϕ d θ

Logo:

I = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ϕ   ϕ     d ϕ d θ

Façamos aqui uma substituição. Seja:

u = t a n t a n   ϕ  

Logo:

d u d ϕ = ϕ   → d ϕ = d u ϕ  

E além disso:

q u a n d o   ϕ = 0 → u = t a n t a n   0   → u = 0

q u a n d o   ϕ = π 3 → u = t a n t a n   π 3   = 3

Assim, substituindo:

I = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ϕ   ϕ     d ϕ d θ = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 u 2 ϕ   ϕ     d u   d θ

Cortando ϕ   e integrando em u :

I = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 u 2 ϕ   ϕ     d u   d θ = 1 4 ∫ 0 2 π u 3 3 0 3 d θ

Logo:

I = 1 4 ∫ 0 2 π u 3 3 0 3 d θ = 1 4 * 3   3 3 ∫ 0 2 π d θ

Integrando em θ :

I = 1 4 ∫ 0 2 π u 3 3 0 3 d θ = 1 4 * 3   3 3 θ 0 2 π

Portanto:

I = 3 4 * 2 π

E achamos então o nosso resultado.

E olha que bacana! Acharíamos o mesmo resultado se tivesse feito tanto pelas coordenadas cartesianas quanto pelas cilíndricas que achamos no item a)

Legal, né?! Te convido a tentar, te espero na próxima! Até lá.

Resposta

I = 3 4 * 2 π

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