Calcule

∭ S x e x 2 + y 2 + z 2 d V

Onde S é a porção da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 no primeiro octante

Passo 1

Vamos lá galera, resolver essa integral de forma direta não parece nada simples, vamos usar alguma coisa pra ajudar aqui.

Percebam que o termo x 2 + y 2 + z 2 aparece tanto no limite quanto dentro da integral, parece válido usarmos mudança para coordenadas esféricas, certo?

x = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

A região S é o interior da esfera de raio 1 , no primeiro octante.

Os limites dos ângulos θ e ϕ vão ter que ser

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Como o raio da esfera é 1 , os limites de ρ são

0 ≤ ρ ≤ 1

Passo 2

Vamos substituir tudo na integral tripla, lembrando que com a mudança esférica podemos dizer que

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

∭ S x e x 2 + y 2 + z 2 d V

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ e ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ d ρ d ϕ d θ

Aqui vamos usar uma estratégia, mas tome muito cuidado, vou explicar quando podemos fazer isso, não é sempre!

Podemos “separar” as variáveis e calcular 3 integrais simples, assim olha

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 d ρ

Por que podemos fazer isso? Nesse caso aqui, todos os limites são constantes, ou seja, depois que integrarmos em ρ , não vai aparecer nenhum termo novo de ϕ nem de θ . Então não faz diferença em que ordem integramos as coisas!

É como se nenhum limite dependesse do outro, sacou?

Voltando pra integral, vamos calcular as três separadamente, ajuda a organizar as coisas

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ = sen ⁡ θ 0 π 2 = 1 - 0 = 1

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ

Pra resolver isso aí sabemos que

sen 2 ⁡ ϕ = 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2

Com isso

∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2 d ϕ = 1 2 ϕ - sen ⁡ 2 ϕ 2 0 π 2

= 1 2 π 2 - 0 - 0 - 0 = π 4

A terceira integral vai ser a mais trabalhosa, dá uma olhada aqui.

Passo 3

A terceira integral é essa aqui

∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 d ρ

Vamos fazer uma mudança aqui que vai ajudar

u = ρ 2

d u = 2 ρ d ρ

Os limites de integração vão ser os mesmos, olha só

ρ = 0 → u = 0 2 = 0

ρ = 1 → u = 1 2 = 1

A integral vai ficar

∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 d ρ = ∫ 0 1 e ρ 2 ⏟ e u ρ 2 ⏟ u ρ d ρ ⏟ d u 2

= 1 2 ∫ 0 1 u e u d u

Essa integral aí é chatinha, lembra como faz isso? Dá uma olhada

∫ u e u d u

Considerando r = u e s ' = e u , podemos aplicar a integral do produto

∫ r s ' = r s - ∫ r ' s

∫ u e u d u = u e u - ∫ e u d u

= u e u - e u

É isso aí então, agora é só aplicar os limites dados no enunciado

1 2 ∫ 0 1 u e u d u =

= 1 2 u e u - e u u = 0 u = 1

= 1 2 1 e 1 - e 1 - 0 e 0 - e 0 = 1 2 e - e + 1 = 1 2

Passo 4

Juntando as três integrais

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 d ρ

= 1 π 4 1 2 = π 8

Resposta

π 8

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Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x