Calcule

∭ S e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

Onde S é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e de raio 4 e abaixo do cone z = 3 x 2 + y 2 , contido no primeiro octante.

Passo 1

Vamos começar esboçando essa região aí, é muito importante notar que ele só quer o sólido dentro do primeiro octante, beleza?

Ele é limitado pela esfera de raio 4 , que é x 2 + y 2 + z 2 = 16 , e está abaixo do cone z = 3 x 2 + y 2

Vamos escrever isso em coordenadas esféricas, vai ajudar porque temos uma esfera de raio 4 , temos o termo x 2 + y 2 + z 2 dentro da função que vamos integrar, e o cone também não fica tão ruim em coordenadas esféricas, olha só

x = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

Vamos ver como ficam as equações da esfera e do cone

x 2 + y 2 + z 2 = 16

ρ 2 = 16

ρ = 4

Agora o cone

z = 3 x 2 + y 2

ρ cos ⁡ ϕ = 3 ρ 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + ρ 2 sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ

ρ cos ⁡ ϕ = 3 ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ

ρ cos ⁡ ϕ = 3 ρ sen ⁡ ϕ

sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ = 1 3

tg ⁡ ϕ = 3 3

ϕ = π 6

Perceba que o ângulo ϕ “começa” no cone e termina no plano x y . Isso parece meio estranho as vezes, mas o ângulo ϕ começa no eixo z positivo e vai até o negativo, rodando 180 º = π . Ou seja, quando ele chega no plano x y , que é metade do caminho, ele vale π / 2 .

Se você achou muito ruim essa explicação geométrica, pensa assim: o plano x y é z = 0

z = 0

ρ cos ⁡ ϕ = 0

O ângulo que tem cosseno igual a 0 é o ângulo ϕ = π / 2 . Beleza, então ϕ vai do cone até o plano x y , com isso

π 6 ≤ ϕ ≤ π 2

O ângulo θ é limitado apenas no primeiro octante, portanto

0 ≤ θ ≤ π 2

E o raio só é limitado pela esfera, portanto

0 ≤ ρ ≤ 4

Passo 2

Antes de colocar tudo na integral, vamos ver como fica a função que está lá dentro

e x 2 + y 2 + z 2 3 2

Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

e x 2 + y 2 + z 2 3 2 = e ρ 2 3 / 2 = e ρ 3

Passo 3

Agora sim, juntando tudo na integral, sem esquecer o jacobiano

∭ S e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

= ∫ 0 π 2 ∫ π 6 π 2 ∫ 0 4 e ρ 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 4

Pra integrar em ρ , vamos fazer uma pequena substituição aqui

u = ρ 3

d u = 3 ρ 2 d ρ

ρ = 4 → u = 64

ρ = 0 → u = 0

Voltando pra integral

∫ 0 π 2 ∫ π 6 π 2 ∫ 0 64 e u sen ⁡ ϕ d u 3 d ϕ d θ

Integrando em u

1 3 ∫ 0 π 2 ∫ π 6 π 2 sen ⁡ ϕ e u 0 64 d ϕ d θ =

= 1 3 ∫ 0 π 2 ∫ π 6 π 2 sen ⁡ ϕ e 64 - 1 d ϕ d θ

Integrando em ϕ

e 64 - 1 3 ∫ 0 π 2 - cos ⁡ ϕ π / 6 π / 2 d θ

= e 64 - 1 3 ∫ 0 π 2 - 0 - 3 2 d θ

= 3 e 64 - 1 6 ∫ 0 π 2 d θ

Integrando em θ

3 e 64 - 1 6 θ 0 π 2 =

= 3 e 64 - 1 6 π 2 =

= π 3 e 64 - 1 12  

Resposta

π 3 12 e 64 - 1

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Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x