(Capítulo 15.9 – Exercício 17) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

∫ 0 π / 6 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ   d θ   d ϕ

Passo 1

Vamosss lá galera

Temos uma integral tripla prontinha pra gente, e aí queremos desenhar quem é o sólido que ela ta representando e depois resolver a integral

Show de bola, galera! Nosso primeiro passo será identificar a região cujo volume vamos calcular em função dos limites de integração, beleza?

Passo 2

Vamos lá...Olhando para os nossos limites de integração, vemos que a região sólida na qual estamos interessados é dada por:

R = ρ , θ , ϕ | 0 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π 6

Mas sabemos que

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Esboçando essa região, temos:

Show....Agora partiu calcular a integral?

Passo 3

Vamos lá!

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ =

Primeiro, integrando em relação a ρ :

= ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ ρ 3 3 0 3 d θ d ϕ =

Fazendo essa conta:

= ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ 3 3 3 - 0 3 3 d θ d ϕ =

= ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 27 3 sen ⁡ ϕ d θ d ϕ =

Simplificando e botando a constante pro lado de fora da integral:

= 9 ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d θ d ϕ =

Integrando em relação a θ :

= 9 ∫ 0 π 6 sen ⁡ ϕ π 2 d ϕ =

= 9 π 2 ∫ 0 π 6 sen ⁡ ϕ d ϕ =

Agora só falta integrar em relação a ϕ :

= 9 π 2 - cos ⁡ ϕ 0 π / 6 =

Assim:

- 9 π 2 cos ⁡ π 6 - cos ⁡ 0

Mudando a ordem dos termos dentro do parênteses para sumir com esse sinal negativo:

= 9 π 2 1 - 3 2

Logo,

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 9 π 2 1 - 3 2

E é isssoooo

Resposta

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 9 π 2 1 - 3 2

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