Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b ) ∭ R x 2 + y 2 d v   onde R é a região hemisférica que está acima do plano x , y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1  

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão padrão de integração tripla. Ele deu não integral bonitinha, então precisamos desenhar resolver utilizando a mudança de coordenadas para as esféricas.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Primeiramente, precisamos entender qual é a região de integração. A região é toda parte superior de uma esfera de raio 1, ou seja o gráfico deve ser algo assim:

Analisando a figura vemos que os ângulos variam da seguinte forma:

0 ≤   φ ≤ 2 π

0 ≤ θ ≤ π 2

E com o raio variando de 0 até 1.

Bem utilizando as coordenadas esféricas e substituindo na nossa integral, temos que:

DICA: ahhh lembrar que x 2 + y 2 = r 2 s e n 2 ( φ ) .

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r s e n θ r 2 s e n ( φ ) d r d θ d φ

Passo 3

Como os limites de integração não depende das variáveis, não é importante definir a ordem que você integração. Então vamos de dentro para fora só para manter a metodologia.

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r s e n θ r 2 s e n φ d r d θ d φ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n θ s e n φ ∫ 0 1 r 3 d r d θ d φ

Reorganizando os integrado, pois a ordem de integração nesse caso não importa como já foi comentado.

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r s e n θ r 2 s e n φ d r d θ d φ = ∫ 0 2 π s e n φ d φ ∫ 0 π 2 s e n θ 1 4     d θ

Porém temos que:

∫ 0 2 π s e n φ d φ = 0

Logo, temos que:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r s e n θ r 2 s e n φ d r d θ d φ = 0

Resposta

0

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