1) Seja V o sólido dado por:

V ≔ x , y , z ∈ R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Faça os itens abaixo:

a) Faça um esboço do sólido V .

b) Calcule o volume do sólido.

Passo 1

Falaaa... tudo belezinha??

Nessa questão vamos esboçar, na letra a, o sólido V .

E na letra b vamos calcular o volume do sólido.

Repara que x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4   é a equação de uma esfera. Daí a gente já pensa logo em fazer mudança de variável usando coordenadas esféricas.

E pra achar o volume, calculamos a integral tripla:

∫ ∫ ∫ J r , θ , ϕ d V

Onde J r , θ , ϕ é o Jacobiano, que precisamos multiplicar quando fazemos mudança de variável.

J r , θ , ϕ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ ϕ ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ ϕ

Passo 2

Temos a região delimitar pela esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4   e pelo cone   0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 .

Esboçando:

A região é limitada, na parte de baixo pelo cone e na parte de cima pela esfera.

Passo 3

Queremos, agora, achar quais são os limites de integração.

Como só a parte positiva acima do cone, então podemos isolar z , na equação da esfera:

z ≤ 4 - y 2 - x 2

Para achar a intersecção entre a esfera e o cone, vamos igualar as duas equações:

4 - y 2 - x 2 = x 2 + y 2

4 - y 2 + x 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 2

Hum... isso é a equação de uma circunferência com raio 2 , né?? Se a gente olhar de cima, vemos a circunferência.

Fazendo uma linha paralela ao eixo x podemos destacar na figura:

Bom... o ρ vai variar de 0 até o raio da esfera, que é 2.

Pra achar qual é esse ângulo ϕ pode usar alguma relação trigonométrica. Como tem cateto oposto e hipotenusa:

sen ⁡ ϕ = r ρ

Mas r = 2   e ρ = 2, então:

sen ⁡ ϕ = 2 2

E esse seno é conhecido, né??

ϕ = π 4

Daí podemos dizer que ϕ varia de 0 até π 4 .

Para o θ , como a volta de ta sendo completinha, então varia de 0 até 2 π .

Passo 4

Para as coordenadas esféricas, temos:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Calculando o Jacobiano:

J r , θ , ϕ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ ϕ ∂ z ∂ ρ ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ ϕ

= ρ 2 sen ⁡ ϕ

Montando a integral tripla:

∫ ∫ ∫ J ρ , θ ,   ϕ   d V

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ρ   d θ   d ϕ

Resolvendo:

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ρ   d θ   d ϕ = ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π sen ⁡ ϕ ρ 3 3 0 2 d θ   d ϕ

= 8 3 ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π sen ⁡ ϕ d θ   d ϕ

= 8 3 2 π ∫ 0 π 4 sen ⁡ ϕ d ϕ

= 16 π 3 - cos ⁡ π 4 + cos ⁡ 0

= 16 π - 8 2 π 3

O volume do sólido é 16 π - 8 2 π 3 u.v.

Ufa... grandona essa, mas acabamos. Bora pra próxima?

Resposta

b) 16 π - 8 2 π 3   u . v .

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