Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 957, adaptado.

Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que se encontra acima do cone z = x 2 + y 2 e dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:

x 2 + y 2 + z 2 - z = 0

x 2 + y 2 + z - 1 2 2 - 1 4 = 0

x 2 + y 2 + z - 1 / 2 2 = 1 4

Uma esfera centrada em ( 0,0 , 1 / 2 ) . Como o cone está expresso na forma z = x 2 + y 2 e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z ≥ 0 . Temos, então, essa região da figura:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que V = ∭ W   d V

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ φ c o s   θ

y = ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois o sólido está em volta do eixo z , fazendo uma volta completa. Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = ρ cos ⁡ φ

ρ = cos ⁡ φ

Temos, então, 0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ

Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos ρ = ( n ú m e r o ) para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , quando φ = 0 até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:

ρ cos ⁡ φ = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 sen 2 ⁡ φ )   sen 2 ⁡ θ

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ   = ρ sen ⁡ φ

sen ⁡ φ = cos ⁡ φ   → tg ⁡ φ = 1   →   φ = π / 4

Portanto, 0 ≤ φ ≤ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ φ ≤ π / 4 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ   }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 cos ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ρ 3 3 sen ⁡ φ ρ = 0 ρ = cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d θ   d φ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a θ :

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ( θ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ ) θ = 0 θ = 2 π d φ =

= 2 π 3 ∫ 0 π / 4 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ =

Passo 7

Vamos resolver essa integral aqui rapidinho.

∫ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Repara que temos um seno e um cosseno ao cubo ali, se fizermos

u = cos ⁡ φ

A sua derivada vai estar na integral, então vamos fazer essa substituição

u = cos ⁡ φ → d u = - sen ⁡ φ d φ

A nossa integral vai ficar

∫ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ = ∫ u 3 - d u = - ∫ u 3 d u

E vamos ter

- ∫ u 3 d u = - u 4 4

Voltando para φ

- u 4 4 = - cos 4 ⁡ φ 4

E assim temos nossa integral.

Passo 8

Voltando para nossa integral vamos ter

2 π 3 ∫ 0 π / 4 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ =

= 2 π 3 - cos 4 ⁡ φ 4 0 π / 4 = - 2 π 12 cos 4 ⁡ φ φ = 0 φ = π 4

= - π 6 2 2 4 - 1 4 = - π 6 1 4 - 1 =

= - π 6 - 3 4 = π 8

Resposta

π 8

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