27. Calcule a integral

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular essa integral tripla toooda feiosa.

Pooo... isso tudo aí parece com coordenadas esféricas, né?

Lembrando que as coordenadas esféricas são representadas por:

x = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

E não esquecendo do Jacobiano:

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

Repara que o que tem dentro da integral é justamente o Jacobiano... Ohhh... Estamos no caminho certo.

Passo 2

A variação de ρ é de 0 até 1 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ .

ρ = 1 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ

ρ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ = 1

ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ + ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + ρ cos ⁡ ϕ = 1

Carambaaa.. é justamente x , y e z ...

x + y + z = 1

Como o θ varia de 0 até π 2 e o ϕ varia de 0 até π 2 , temos apenas o primeiro quadrante. E a curva é o plano x + y + z = 1 .

Desenhando a região de integração, que é o plano z = 1 - x - y no primeiro quadrante

Passo 3

Repara que o z varia de 0 até 1 - x - y , o y varia de 0 até 1 - x e o x varia de 0 até 1.

Quando a gente passa algo pra coordenadas esféricas, precisamos adicionar o Jacobiano, né? COmo estamos fazendo o contrário, vamos só tirar.

A integral tripla pode reescrita como:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y d z   d y   d x

Resolvendo:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y d y   d x

= ∫ 0 1 y - x y - y 2 2 0 1 - x d x

= ∫ 0 1 1 - x - x 1 - x - 1 - x 2 2 d x

= ∫ 0 1 1 - x - x + x 2 - 1 2 + x - x 2 2 d x

= ∫ 0 1 1 2 - x + x 2 2 d x

= x 2 - x 2 2 + x 3 6 0 1

= 1 6

Resposta

1 6

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