Calcule

i = ∭ S 1 x 2 + y 2   d V ,

onde S é o sólido formado pelos pontos que estão acima do cone z = 3 x 2 + y 2 , dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e fora da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Só de ler esse enunciado, vendo todas esses x 2 , y 2   e   z 2 logo pensamos nas coordenadas esféricas, não?

Lembra como é a substituição pra coordenadas esféricas? Chamamos

x = ρ s e n ϕ c o s θ

y = ρ s e n ϕ s e n θ

z = ρ c o s ϕ

Sem esquecer ainda o jacobiano

Passo 2

Substituindo esses valores no nosso cone teremos

z = 3 x 2 + y 2

ρ c o s ϕ = 3 ( ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ

c o s ϕ = s e n ϕ 3

t g ϕ = 3 3

Logo

ϕ = π 6

Passo 3

Tranquilo!! Para analisarmos a variação de θ   e   ρ só prestarmos atenção na região onde estamos trabalhando. Temos que o raio vai variar entra a circunferência maior e menor, ou seja, entre x 2 + y 2 + z 2 = 4 e fora da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

Caso você não tenha visto isso logo de cara, pode substituir os valores das coordenadas esféricas nessas funções e vai achar o que estou te falando

x 2 + y 2 + z 2 = 4

ρ s e n ϕ c o s θ 2 + ρ s e n ϕ s e n θ 2 + ρ c o s ϕ 2 = 2 2

ρ = 2

Fazendo o mesmo para outra equação

x 2 + y 2 + z 2 = 1

ρ s e n ϕ c o s θ 2 + ρ s e n ϕ s e n θ 2 + ρ c o s ϕ 2 = 1 2

ρ = 1

Quanto a variação de θ é só lembrando que estamos dando uma voltinha completa, sem restrições.

Passo 4

Agora é só montarmos nossa integral. Uma coisa que preciso que você se lembre é como os angulos variam

Observe que a região que queremos está ACIMA de z = 3 x 2 + y 2 ,   que é um cone virado para cima.

Como ϕ = 0 é o eixo z, teremos que nossa região terá ϕ variando entre zero e π 6 . Caso quisessemos a região ABAIXO do cone, teriamos entre o ϕ variando entre π 6 e π , tranquilo? Agora sim vamos então montar e resolver nossa integral.

Passo 5

I = ∫ 2 π ∫ 0 π 6 ∫ 1 2 1 ρ s e n ϕ ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ   d θ

= 2 π × π 6 × ρ 2 2 | 2 1

= π 2 2

Resposta

π 2 2

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