Calcule a massa do sólido limitado pelas superfícies u 2 + v 2 + w 2 = 2 v , v = u 2 + w 2 e v = 3 u 2 + w 2 , com densidade δ u , v , w = v 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ u , v , w . Nós sabemos que:

d m =   δ u , v , w d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ W   δ u , v , w d V

M = ∭ W   v 2 d u d v d w

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos a seguinte esfera:

u 2 + v 2 + w 2 = 2 v

u 2 + v - 1 2 + w 2 = 1

Uma esfera de raio 1 deslocada em v .

E temos dois cones com eixo de simetria v :

v = u 2 + w 2

v = 3 u 2 + w 2

O segundo com abertura menor.

Bom já que temos cones e esfera, vamos usar coorenadas esféricas né? Como nas coordenadas polares o eixo de simetria é o z , sabemos que chamar v = z vai facilitar muito nossa vida. Vamos desenhar dessa forma aqui então:

Beleza?

Passo 3

Como nós fizemos z = v , x = u e y = w , vamos usar as coordenadas polares assim:

x = u = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = w = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = v = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π . O ângulo φ , como podemos ver, vai desde um cone até o outro, então vamos fazer a mudança polar nas suas equações:

v = u 2 + w 2

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ

t g   φ = 1

φ = π 4

v = 3 u 2 + w 2

ρ cos ⁡ φ = 3 ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2

ρ cos ⁡ φ = 3 ρ   s e n   φ

t g   φ = 1 3

φ = π 6

Agora falta o intervalo de ρ , que vai desde ρ = 0 até a superfície da esfera. Mas cuidado, como a esfera está deslocada, não temos ρ = n ú m e r o ! Temos que fazer a mudança polar na esfera:

u 2 + v 2 + w 2 = 2 v

( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( ρ cos ⁡ φ ) 2 + ( ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 = 2 ( ρ cos ⁡ φ )

( ρ   s e n   φ   ) 2 + ( ρ cos ⁡ φ ) 2 = 2 ( ρ cos ⁡ φ )

ρ 2 = 2 ( ρ cos ⁡ φ )

ρ = 2 cos ⁡ φ

Logo, 0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ . A região é descrita por:

W = ρ , θ , φ 0 ≤ θ ≤ 2 π ; π 6 ≤ φ ≤ π 4 ;   0 ≤ ρ ≤ 2 cos ⁡ φ

Passo 5

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

V = ∭ W   v 2   d u d v d w

= ∫ π / 6 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ cos ⁡ φ 2 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= ∫ π / 6 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ 4 s e n   φ   cos 2 ⁡ φ d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= ∫ π / 6 π / 4 ∫ 0 2 π ρ 5 5 s e n   φ   cos 2 ⁡ φ 0 2 cos ⁡ φ d θ d φ =

= 32 5 ∫ π / 6 π / 4 ∫ 0 2 π cos 5 ⁡ φ s e n   φ   cos 2 ⁡ φ d θ d φ =

= 1 5 ∫ π / 6 π / 4 ∫ 0 2 π cos 7 ⁡ φ s e n   φ   d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 32 5 ∫ π / 6 π / 4 cos 7 ⁡ φ s e n   φ   θ 0 2 π d φ =

= 64 π 5 ∫ π / 6 π / 4 cos 7 ⁡ φ s e n   φ   θ d φ =

Passo 8

Agora, vamos fazer a substituição:

cos ⁡ φ = k

- s e n   φ   d φ = d k

φ = π 6             →             k = 3 2

φ = π 4             →             k = 2 2

Levando para a integral

= - 64 π 5 ∫ 3 / 2 2 / 2 k 7 d k =

= - 64 π 5 k 8 8 3 2 2 2 = = - 8 π 5 2 2 8 - 3 2 8 =

= 8 π 5 3 4 - 2 4 2 8 =

= 13 π 32

Resposta

13 π 32

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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
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