Enunciado

Calcule o volume da região delimitada por cima pelo cone z = x 2 + y 2 e por baixo pela esfera x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 utilizando coordenadas esféricas.

Passo 1

A gente sabe que o volume é dado pela integral tripla:

∭ E d V  

E como o exercício mesmo já pede coordenadas esféricas, vamos lembrar comom que é:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

E, por isso, o jacobiano fica:

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Então nossa integral vai ficar:

∭ E d V = ∭ E - ρ 2 sen ⁡ φ   d ρ d φ d θ

Então vamos começar fazendo um esboço da região pra encontrarmos os limites da região nessas coordenadas esféricas.

Passo 2

Temos uma esfera descentralizada e um cone, então ficamos com algo mais ou menos assim:

Ou seja, a nossa região é limitada exteriormente pela esfera e interiormente pelo cone.

Daí, vemos que temos 0 ≤ θ ≤ 2 π mesmo.

Do cone, nós tiramos o limite inferior de φ , lembre-se sempre disso: o ângulo φ começa no eixo z , é como se φ = 0 fosse o eixo z e depois começamos a contar.

z = x 2 + y 2 → ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ

⇒ ρ cos ⁡ φ = ρ sen ⁡ φ → cos ⁡ φ = sen ⁡ φ

⇒ φ = π 4

Portanto φ vai de π / 4 (cone) até π / 2

Então π 4 ≤ φ ≤ π 2 .

Toma muito cuidado, isso é confuso pra caramba mesmo, beleza?

E o ρ vai ser limitado pela esfera, que pela equação, vamos ter:

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 → x 2 + y 2 + z 2 - 2 z + 1 = 1

⇒ ρ 2 - 2 ρ cos ⁡ φ = 0

⇒ ρ = 2 cos ⁡ φ

Então 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ⁡ φ .

E agora vamos lá calcular a integral!

Passo 3

Substituíndo os limites na integral que a gente tinha lá em cima, vamos ficar com:

∭ E - ρ 2 sen ⁡ φ   d ρ d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ   d ρ d φ d θ

⇒ ∫ 0 2 π d θ ∫ π 4 π 2 sen ⁡ φ ρ 3 3 │ 0 2 cos ⁡ φ ⁡ d φ

θ │ 0 2 π ∙ 1 3 ∫ π 4 π 2 sen ⁡ φ 8 cos 3 ⁡ φ d φ = 2 π 3 ∙ 8   ∫ π 4 π 2 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Que a gente resolve pela substituição:

u = cos ⁡ φ → d u = - sen ⁡ φ d φ

Então:

16 π 3 ∫ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ = 16 π 3 ∫ - u 3 d u

⇒ - 16 π 3 ∙ u 4 4 = - 4 π 3 cos 4 ⁡ φ

Agora é só aplicar os limites de integração:

- 4 π 3 cos 4 ⁡ φ │ π 4 π 2 = - 4 π 3 0 4 - 2 2 4

⇒ 4 π 3 ∙ 4 16 = π 3

Teve até umas continahs chatas, mas no final do resultado deu até simples, né?

Resposta

π 3

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