Considere a região espacial

U = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 - x 2 - y 2 }

E a integral tripla

I = ∭ U   e z d x d y d z

a) Esboce a região U

b) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas ( ρ , φ , θ ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

d) Calcule I .

Passo 1

Resolvendo a letra a) da questão:

Temos uma região limitada por x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 - x 2 - y 2 .

A expressão z = x 2 + y 2 representa a folha superior de um cone com eixo de simetria z , de equação geral z 2 = x 2 + y 2 . Isolando o termo z teríamos z = ± x 2 + y 2 , como o problema se refere apenas à parte positiva de z , sabemos que se trata da folha superior do cone.

Agora vamos analisar e equação z = 2 - x 2 - y 2 . Fazendo o corte y = 0 , temos uma parábola no plano x z e fazendo x = 0 , temos uma parábola no plano y z . Para cada valor de z , temos elipses (no caso, circunferências paralelas a x y ), temos, portanto, um paraboloide elíptico com eixo de simetria z . Como os coeficientes de x 2 e de y 2 são negativos, a concavidade é para baixo (para o z negatvio). O valor máximo de z ocorre quando x = y = 0 , o que nos dá z = 2 .

Passo 2

Resolvendo a letra b) da questão:

Para descrever a região em coordenadas cilíndricas, faremos a seguinte substituição nas equações das superfícies:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Para o semicone:

z = x 2 + y 2   → z = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ   → z = r

Para o paraboloide:

z = 2 - x 2 - y 2   → 2 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2 θ   → z = 2 - r 2

Pela figura, vemos que os valores de z variam entre o semicone e o paraboloide, temos r ≤ z ≤ 2 - r 2 . Vemos, também, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z .

Falta, então, o intervalo de r . Veja que essa coordenada varia desde r = 0 (o eixo z ) até onde as duas superfícies se cortam, então, vamos fazer a interseção entre suas equações:

z = r = 2 - r 2

r 2 + r - 2 = 0

r = - 2 r = 1

Como o valor de r deve ser positivo, temos 0 ≤ r ≤ 1 , o que nos dá:

U = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   r ≤ z ≤ 2 - r 2 }

Passo 3

Reescrevendo a integral em coordenadas cilíndricas, temos, então:

∫ 0 1 ∫ 0 2 π ∫ r 2 - r 2 e z r   d z d θ d r

Não se esqueça do fator de conversão r .

Passo 4

Resolvendo a letra c) da questão:

Para descrever a região em coordenadas esféricas, faremos a seguinte substituição nas equações das superfícies:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

Para o semicone:

z = x 2 + y 2

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2  

ρ cos ⁡ φ = ρ 2   s e n 2   φ    

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n φ

t g   φ = 1   →   φ = π / 4

Para o paraboloide:

z = 2 - x 2 - y 2  

ρ cos ⁡ φ = 2 - [ ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 ]

ρ cos ⁡ φ = 2 - ρ 2   s e n 2   φ

ρ 2   s e n 2   φ + ρ cos ⁡ φ - 2 = 0

ρ = - cos ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ + 8   s e n 2   φ 2   s e n 2   φ

(Lembre-se de que ρ não pode ser negativo).

Agora vamos escrever os intervalos. Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Os valores de φ devem variar entre o eixo z , onde φ = 0 e a superfície do cone, onde φ = π / 4 . A coordenada ρ varia desde ρ = 0 (na origem) até a superfície do paraboloide, onde ρ é dado pela expressão que acabamos de encontrar acima. Temos, então:

U = ρ , φ , θ |   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ φ ≤ π / 4 ,   0 ≤ ρ ≤ - cos ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ + 8   s e n 2   φ 2   s e n 2   φ

Passo 5

Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ 0 - cos ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ + 8   s e n 2   φ 2   s e n 2   φ e ρ cos ⁡ φ ρ 2 s e n   φ   d ρ d φ d θ  

Não se esqueça do fator de conversão ρ 2 s e n   φ .

Passo 6

Resolvendo a letra d) da questão::

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 π e z r z = r z = 2 - r 2 d θ d r =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r e 2 - r 2 - r e r   d θ d r =

= ∫ 0 1 ( r e 2 - r 2 - r e r ) θ θ = 0 θ = 2 π d r =

= 2 π ∫ 0 1 r e 2 - r 2 - r e r d r =

= 2 π ∫ 0 1 r e 2 - r 2 d r - 2 π ∫ 0 1 r e r d r =

= I 1 - I 2

Para resolver a primeira integral, faremos a seguinte substituição:

r 2 = u ; 2 r d r = d u   → d r = d u / 2

I 1 = 2 π ∫ 0 1 e 2 - u d u 2  

I 1 = - π e 2 - u u = 0 u = 1

I 1 = π ( e 2 - e )

Para a segunda integral, utilizaremos integração por partes:

u = r ; u ´ = 1 ;   v = e r ; v ´ = e r

I 2 = 2 π ∫ 0 1 r e r d r = 2 π r e r 0 1 - ∫ 0 1 e r d r

I 2 = 2 π e - e r 0 1

I 2 = 2 π e - e + 1

I 2 = 2 π

Fazendo, então, I 1 - I 2 , temos:

π e 2 - e - 2 π =

Resposta

a ) ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ 0 - cos ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ + 8   s e n 2   φ 2   s e n 2   φ e ρ cos ⁡ φ ρ 2 s e n   φ   d ρ d φ d θ  

b ) ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ∫ r 2 - r 2 e z r   d z d θ d r

c )   π ( e 2 - e - 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x