Determine o volume do sólido que está acima do cone ∅ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ∅ .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos um cone centrado na origel e uma esfera deslocada:

Passo 2

Temos que V = ∭ W   d V

Como a região é limitada por uma esfera e um cone e o enunciado já nos dá as superfícies em coordenadas esféricas, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ φ c o s   θ

y = ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois o sólido está envolta do eixo z ,fazendo uma volta completa. Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera, que é dada por ρ = 4 cos ⁡ φ

Temos, então, 0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ

Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos ρ = ( n ú m e r o ) para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , quando φ = 0 até a superfície do cone, que é dada por φ = π / 3

Portanto, 0 ≤ φ ≤ π / 3 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ φ ≤ π / 3 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ   }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

∫ 0 π / 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 cos ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 3 ∫ 0 2 π ρ 3 3 sen ⁡ φ ρ = 0 ρ = 4 cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= 64 3 ∫ 0 π / 3 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d θ   d φ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a θ :

= 64 3 ∫ 0 π / 3 θ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ θ = 0 θ = 2 π d φ =

= 128 π 3 ∫ 0 π / 3 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ =

Passo 7

Perceba que ( cos 3 ⁡ φ s e n   φ ) é a derivada de - cos 4 ⁡ φ 4 , então temos:

= 128 π 3 - cos 4 ⁡ φ 4 0 π / 3 =

= - 128 π 3 1 16 4 - 1 4 =

= 128 π 3 15 16 4 =

= 10 π

Resposta

10 π

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x