Seja U a região espacial limitada pelo hemisfério superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e pelo hemisfério superior do elipsoide x 2 + y 2 + z 2 9 = 1

  1. Esboce a região espacial U
  2. Descreva a projeção ortogonal de U no plano x y usando igualdades ou desigualdades
  3. Escreva o voluma de U na forma de uma integral tripla iterada usando coordenadas cilíndricas (neste item não é pedido o cálculo da integral)
  4. Escreva o volume de U na forma de uma integral tripla iterada usando coordenadas esféricas (neste item não é pedido o cálculo da integral)
  5. Calcule o volume de U

Passo 1

a)

Vamos começar fazendo a região espacial que ele pediu,

Temos uma esfera de raio 1 centralizada na origem e um elipsoide centrado na origem, com eixo de z sendo 3 em vez do raio 1 da esfera, ficando uma parada assim

Com a esfera dentro do elipsoide.

Passo 2

b)

Para achar a projeção vamos achar onde elas se cruzam

x 2 + y 2 + z 2 = 1

x 2 + y 2 + z 2 9 = 1

Isso nos diz que

z 2 - z 2 9 = 1 - 1

8 z 2 9 = 0

z = 0

Então vamos ter z = 0 nessa parada, a projeção vai ser

x 2 + y 2 + 0 2 = 1

x 2 + y 2 = 1

Como queremos a parte toda de dentro desse cara temos que colocar um em vez de igual, vamos ter

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 3

c)

Vamos escrever agora o volume pelas coordenadas cilíndricas, primeiro vamos lembrar que o volume vai ser

V = ∭ W d x d y d z

Nas coordenadas cilíndricas teremos

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Passo 4

Agora temos que achar os limites dessa parada.

Primeiro repara que a projeção em x y é x 2 + y 2 = 1 , ou seja, um círculo de raio 1 , isso nos diz que

r ∈ 0,1

E

θ ∈ 0,2 π

Vamos agora para o valor de z , pela gráfico podemos perceber que ele vai da esfera até o elipsoide. Vamos achar o z na esfera primeiro então, fazendo a substituição pelas coordenadas cilíndricas

r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 + z 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ + z 2 = 1

r 2 + z 2 = 1

z 2 = 1 - r 2

Como estamos pegando a parte de cima da esfera, quando tirarmos a raiz desse cara vamos pegar a raiz positiva, se fosse a parte de baixo pegaríamos a raiz negativa.

z = 1 - r 2

Vamos agora achar o segundo z , o do elipsoide

r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 + z 2 9 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ + z 2 9 = 1

r 2 + z 2 9 = 1

z 2 9 = 1 - r 2

Pelo mesmo motivo de antes vamos pegar a parte positiva da raiz

z 3 = 1 - r 2

z = 3 1 - r 2

Isso nos diz que z vai variar assim

z ∈ 1 - r 2 , 3 1 - r 2

Passo 5

O volume vai ficar

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 3 1 - r 2 r d z d r d θ

Passo 6

d)

Vamos agora achar esse volume por coordenadas esféricas, teremos

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 7

Aqui estamos pegando só a parte de cima de cada um desses caras, então θ vai de 0 à 2 π , mas dessa vez φ vai variar só até a sua metade que vai ser de 0 à π / 2

θ ∈ 0,2 π

φ 0 , π 2

Vamos agora achar ρ , ele vai desde o seu valor na esfera, que é o próprio raio da esfera, ou seja, ρ = 1 até o seu valor no elipsoide que não fazemos ideia qual é.

Vamos achar o valor de ρ no elipsoide substituindo as coordenadas esféricas na equação do elipsoide

ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 9 = 1

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ 9 = 1

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ 9 = 1

ρ 2 sen 2 ⁡ φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ 9 = 1

Multiplicando tudo por 9

9 ρ 2 sen 2 ⁡ φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 9

ρ 2 9 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 9

ρ 2 = 9 9 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ

Como ρ é sempre positivo por definição, vamos ter

ρ = 9 9 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ

Isso nos diz que

ρ ∈ 1 , 9 9 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ

Passo 8

O volume vai ficar

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 9 9 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

Passo 9

e)

Vamos agora calcular esse volume, temos uma escolha para fazer, usar a fórmula pelas coordenadas cilíndricas ou pelas esféricas que calculamos antes. Nas coordenadas esféricas temos um limite de integração ingrato né? Levemente assustador integrar essa parada, vou te falar que nem faço ideia como fazer essa integral, então vamos usar as coordenadas cilíndricas mesmo.

O volume é

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 3 1 - r 2 r d z d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z 1 - r 2 3 1 - r 2 d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 1 - r 2 - 1 - r 2 d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 1 - r 2 d r d θ

Chegamos a uma integral levemente ingrata, não tanto quando seria se tivéssemos feito por esféricas, mas ingrata, vamos separa um passo para fazer ela

Passo 10

Queremos fazer

∫ 2 r 1 - r 2 d r

Vamos chamar aquele cara dentro da raiz de u

1 - r 2 = u

Isso porque a derivada dele vai ser algo parecido com o cara de fora

d u = - 2 r d r

Temos 2 r d r na integral

- d u = 2 r d r

A integral vai ficar

∫ - u d u =

- ∫ u 1 / 2 d u =

- u 1 / 2 + 1 1 / 2 + 1 =

- u 3 / 2 3 / 2   =

- 2 u 3 / 2 3

Temos que voltar para o valor de r

- 2 1 - r 2 3 / 2 3

Passo 11

Voltando para a integral do volume,

V = ∫ 0 2 π - 2 1 - r 2 3 / 2 3 0 1 d θ

V = ∫ 0 2 π - 2 1 - 1 2 3 / 2 3 - - 2 1 - 0 2 3 / 2 3 d θ

V = ∫ 0 2 π 0 - - 2 3 d θ

V = ∫ 0 2 π 2 3 d θ

V = 2 3 θ 0 2 π  

V = 2 3 2 π  

V = 4 π 3

Resposta

  1. D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 1
  2. V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 3 1 - r 2 r d z d r d θ
  3. V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 9 9 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ
  4. V = 4 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x