4)

b) Calcule y ' ' , onde

y = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa questão pede pra gente calcular y ' ' da função y = sem ⁡ θ cos ⁡ θ . Essa y ' ' que ele está querendo, nada mais é do que a derivada segunda da função y , e para encontrá-la, basta derivar a função y e depois derivar a função que encontrarmos na primeira derivação.

Vem comigo que te mostro como!

Passo 2

Vamos nos preocupar com a primeira derivação, para encontrar y ' . E repare que nossa função y é um produto entre duas funções, a função sen ⁡ θ e a função cos ⁡ θ . Sendo assim, usaremos a regra do produto para resolvê-la.

Assim, dizemos que se:

y = f t ⋅ g t

y ' = f ' t ⋅ g t + f t ⋅ g ' t

Como:

y = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Podemos chamar

f t = sen ⁡ θ

Derivamos teremos

f ' t = cos ⁡ θ

E

g t = cos ⁡ θ

Que derivando é

g ' t = - sen ⁡ θ

Substituindo tudo, ficamos com:

y ' = f ' t ⋅ g t + f t ⋅ g ' t

y ' = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ⋅ - sin ⁡ θ

Que se torna:

y ' = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ

Maravilha, agora vamos fazer a segunda derivada.

Passo 3

Agora precisaremos aplicar a regra do produto por duas vezes, uma para cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ e outra para sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ .

Assim:

y ' ' = ( cos ' ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ ⋅ cos ' ⁡ θ ) - ( sin ' ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ + sin ⁡ θ ⋅ sin ' ⁡ θ )

O que nos dará:

y ' ' = - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Assim, chagamos a:

y ' ' = - 4 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

y ' ' = - 4 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )