Sejam f e g funções cujos gráficos estão abaixo

Determine h ' - 2 ,   h ' 1   e h ' ( 3 ) , em que h x = f ( x ) g ( x )

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O enunciado nos deu um gráfico de duas funções: f em vermelho e g em azul. E nos perguntou as derivadas de uma outra função h ' em três pontos distintos:

h ' - 2 ,   h ' 1 ,   h ' ( 3 )

Mas o que será que tem a ver essa função h com as funções dadas?

A função h ( x ) é definida como o produto das funções f e g !

Está aqui nosso vínculo!

O problema pediu a derivada de uma função (nossa querida h ) que por sua vez é o produto de outras duas funções!

E já sabemos: para determinar a derivada de uma função que é produto de funções tascamos a REGRA DO PRODUTO!

A regra do produto nos diz que a derivada de uma função que é o produto de duas funções é: “derivada da primeira vezes a segunda, mais derivada da segunda vezes a primeira

h é h = f . g então aplicando a regra do produto em h , a derivada h ' é:

h ' = f ' . g + g ' . f

Como queremos em três pontos distintos, precisamos aplicar essa regra em três x diferentes. Por exemplo, considerando que o x é x 0 temos

h ' x 0 = f ' x 0 . g x 0 + g ' x 0 . f ( x 0 )

Beleza?

Mas aí você se pergunta... como vou achar esses valores? Aí que entra nosso gráfico!

Notem que ele só envolve retas! Sabe por quê? Porque derivada de reta é constante! É o coeficiente angular da reta!

Isso mesmo! Achar a derivada de uma reta em um ponto, é achar a inclinação dessa reta (nosso conhecido coeficiente angular lá do colégio) em torno desse ponto!

E por quê ser a inclinação?

Isso porque, vamos supor uma reta de equação qualquer

k x = a x + b

Lá do colégio a gente aprendeu que o “a” é o coeficiente angular e o “b” é o coeficiente linear, certo?

Bom, agora em cálculo você aprendeu a derivar! Então vamos derivar essa função k aí:

k ' x = a x 1 - 1 + 0 = a

Lembrando que derivada de constante é zero

k ' x = a

Então a derivada de uma reta qualquer é igual ao coeficiente angular dessa reta nesse ponto!

Eu digo em torno do ponto, porque por exemplo, a reta em vermelho é partida em dois pedaços: até - 1 é decrescente e depois passa a ser crescente. Ela é composta por duas leis de função, mas isso não importa para a gente agora! O que importa é encontrarmos o coeficiente angular dessa reta nos pontos que o problema pediu!

E a função no ponto? É o y daquele ponto! De novo, é só dar um bizu no gráfico! Mas calma que vou fazer junto com você!

Passo 2

Vamos começar com a derivada do primeiro ponto x = - 2 .

Aí aplicando a regrinha do produto (vou colar lá do passo anterior) aplicado em - 2 temos

h ' - 2 = f ' - 2 . g - 2 + g ' - 2 . f ( - 2 )

Precisamos achar quatro valores:

1 :   f - 2

2 :   g - 2

3 :   f ' - 2

4 :   g ' ( - 2 )

Bom, como comentei, os valores (1) e (2) são as ordenadas y de cada função no ponto x = - 2 . Vamos olhar no gráfico:

Em torno da abscissa - 2 a função f em vermelho assume o valor de f - 2 = - 1 , enquanto a função g (em azul) assume o valor de g - 2 = - 3 .

Assim:

1 : f - 2 = - 1

2 : g - 2 = - 3

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular os coeficientes angulares. Calcular coeficiente angular é bem tranquilo, saca só!

A gente precisa de dois pontos do gráfico x 1 , y 1 e ( x 2 , y 2 ) e daí é só jogar nessa fórmula aqui:

a = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Vamos ao nosso gráfico de novo, agora olhando para a função vermelho em torno de - 2 :

f e que contém o x = - 2 :

x 1 ; y 1 = ( - 3,0 )

x 2 ; y 2 = ( - 1 , - 2 )

E agora é só calcular a :

a = - 2 - 0 - 1 - ( - 3 ) = - 2 2 = - 1

Assim f ' ( - 2 ) é:

f ' - 2 = - 1

Beleza?

Agora vamos fazer a mesma coisa para a função g em azul.

Do gráfico temos que os pontos são ( - 1 ; - 1 ) e ( - 3 ; - 5 ) e assim o coeficiente angular da reta em azul é

a = - 5 + 1 - 3 + 1 = - 4 - 2 = 2

E a derivada de g em - 2 é:

g ' - 2 = 2

Juntando os resultados temos:

3 : f ' - 2 = - 1

4 : g ' - 2 = 2

Passo 4

Resgatando lá do passo 2 a regra do produto

h ' - 2 = f ' - 2 . g - 2 + g ' - 2 . f ( - 2 )

Os quatro valores:

1 :   f - 2 = - 1

2 :   g - 2 = - 3

3 :   f ' - 2 = - 1

4 :   g ' - 2 = 2

Agora é aplicar na regra:

h ' - 2 = f ' - 2 . g - 2 + g ' - 2 . f ( - 2 )

h ' - 2 = - 1 . - 3 + 2 . - 1 = 3 - 2 = 1

h ' - 2 = 1

Tranquilo? Agora é repetir esse processo para os outros dois pontos x = 1 e x = 3 !

Vamos lá! Não desanima!

Passo 5

Para x = 1 os valores de f ( 1 ) e g ( 1 ) são:

Os valores são

1 : f 1 = - 1

2 : g 1 = 3

E agora as derivadas. Primeiro de f em vermelho:

A derivada f ' ( 1 ) é:

f ' 1 = a = 0 + 2 3 + 1 = 1 2

g (em azul):

g ' 1 = a = 5 + 1 2 + 1 = 6 3 = 2

Mas nem precisaríamos fazer essa conta, já que a função g tem a mesma inclinação desde o x = - 2 até x = 2 !

Assim

3 : f ' 1 = 1 2

4 : g ' 1 = 2

Passo 6

Os quatro valores:

1 :   f 1 = - 1

2 :   g ( 1 ) = 3

3 :   f ' 1 = 1 / 2

4 :   g ' 1 = 2

Agora é aplicar na regra:

h ' 1 = f ' 1 . g 1 + g ' 1 . f ( 1 )

h ' 1 = 1 2 . 3 + 2 . - 1 = 3 2 - 2 = - 1 2

h ' 1 = - 1 2

Beleza?

Bora para o último?

Passo 7

Para x = 3 os valores de f ( 3 ) e g ( 3 ) são:

Os valores são

1 : f 3 = 0

2 : g 3 = 4

E agora as derivadas. Primeiro de f em vermelho

A derivada f ' ( 3 ) é a mesma do passo anterior, já que a cara da função não mudou. então

f ' 3 = 1 2

g mudou, então precisamos calcular.

g ' 3 = a = 2 - 5 5 - 2 = - 3 3 = - 1

Assim

3 : f ' 3 = 1 2

4 : g ' 3 = - 1

Passo 8

Os quatro valores:

1 :   f 3 = 0

2 :   g ( 3 ) = 4

3 :   f ' 3 = 1 / 2

4 :   g ' 3 = - 1

Agora é aplicar na regra:

h ' 3 = f ' 3 . g 3 + g ' 3 . f ( 3 )

h ' 3 = 1 2 . 4 + - 1 . 0 = 2

h ' 3 = 2

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

h ' - 2 = 1

h ' 1 = - 1 2

h ' 3 = 2

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )