1. Determine a derivadas das funções abaixo.

c. f x = 1 + x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema é bem direto na pergunta e pede para calcularmos a derivada de f x .

f x = 1 + x 2

Repara que a nossa função está ao quadrado. Então podemos escrevê-la assim:

f x = 1 + x 1 + x

Opaaa! Temos então uma função que é um produto de duas funções. Então para calcular essa derivada temos que lembrar que:

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x + g x h ' x

Além disso, temos uma soma nessa derivadatemos que lembrar que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

f x = g x ± h x → f ' x = g ' x ± h ' x

Bora aplicar!

Passo 2

A nossa função é

f x = 1 + x 1 + x

Pela regra do produto teremos,

f ' x = 1 + x ' 1 + x + 1 + x 1 + x '

f ' x = 2 1 + x ' 1 + x

Então o que temos que fazer agora é derivar 1 + x '

Passo 3

Para derivar 1 + x ' , vamos aplicar a regra da soma

1 + x ' = 1 ' + x '

Como o primeiro termo da soma é uma constante, a sua derivada é zero.

1 ' = 0

Já para a segunda derivada, vamos usar a regra do polinômio, que diz:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Olhando para a nossa função, temos que n = 1 2 . Logo

x ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x

Juntando, ficamos com,

1 + x ' = 0 + 1 2 x = 1 2 x

Agora vamos voltar para a nossa derivada inicial!

Passo 4

Tinhamos,

f ' x = 2 1 + x ' 1 + x

Substituindo 1 + x ' ,

f ' x = 2 1 2 x 1 + x

f ' x = 1 x 1 + x

Prontinho!

Resposta

f ' x = 1 x 1 + x

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