Derive:

l )   y = x 2   t g ( 2 x )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = x 2   t g ( 2 x )

Para fazer isso, vamos utilizar a regra do produto, juntamente com a regra do tombo e algumas derivadas conhecidas! Temos também que utilizar algumas propriedades da derivada que provém da regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

em que f ( x ) = x 2 e g ( x ) = t g ( 2 x ) . Ou seja, podemos escrever nossa derivada como

d d x [ x 2 t g ( 2 x ) ] = d d x [ x 2 ] t g ( 2 x ) + x 2 d d x [ t g ( 2 x ) ]

Agora nosso problema se reduziu a calcular duas derivadas relativamente mais simples do que a derivada original! Para a do primeiro termo usaremos a regra do tombo, e a segunda é uma derivada conhecida, mas precisamos tomar um certo cuidado! Bora lá?

Passo 3

Pela regra do tombo temos que

d d x [ x n ] = n x n - 1

se tomarmos que n = 2 , obtemos que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

Essa é a primeira derivada! Agora temos que calcular a segunda! Lembra como fazemos isso? Saca só!

Passo 4

Vamos lembrar a seguinte propriedade

d d x [ f ( c x ) ] = c d d ( c x ) f ( c x )

Ou seja, podemos simplesmente tirar constantes para fora da derivada, isso faz com que tenhamos que

d d x [ t g ( 2 x ) ] = 2 d d ( 2 x ) [ t g ( 2 x ) ]

A derivada de tangente pode ser demonstrada utilizando de identidades trigonométricas e a regra do quociente, esta é uma questão desta mesma lista de exercícios e a demonstração dela está no site! Aqui vamos utilizar como um resultado conhecido! Vem comigo!

Passo 5

Lembrando que

d d ( 2 x ) [ t g ( 2 x ) ] = s e c 2 ( 2 x )

Podemos finalmente escrever que

d d x [ t g ( 2 x ) ] = 2   s e c 2 ( 2 x )

Ótimo! Agora temos todas as derivadas que precisávamos calcular! Se utilizarmos isso para escrever nossa derivada original, temos que

d d x [ x 2 t g ( 2 x ) ] = d d x [ x 2 ] t g ( 2 x ) + x 3 d d x [ t g ( 2 x ) ] = [ 2 x ] t g ( 2 x ) + x 2 [ 2 s e c 2 ( 2 x ) ]

Ou, se organizarmos os termos um pouquinho, obtemos

d d x [ x 2 t g ( 2 x ) ] = 2   x   t g ( 2 x ) + 2 x 2 s e c 2 ( 2 x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ x 2 t g ( 2 x ) ] = 2   x   t g ( 2 x ) + 2 x 2 s e c 2 ( 2 x )

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