Encontre a derivada das funções abaixo de duas formas (aplicando diretamente uma regra ou simplificando/multiplicando primeiro e aplicando outra regra) e verifique que o resultado é o mesmo

  1. f x = x 4 - 5 x 3 + x x 2

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema pediu para calcularmos a derivada da função f x

f x = x 4 - 5 x 3 + x x 2

Por duas formas:

  1. simplificando antes a função (deixando-a mais simples) e derivando (usando alguma regra de derivação), e
  2. derivando a função do jeito que ela está (sem simplificar nada), usando outra regra

A ideia desse exercício é verificar que, seja por qual caminho você siga, se derivar tudo certinho, o resultado vai ser o mesmo!

Repare que essa função é uma razão entre polinômios. E assim a gente pode simplificar termo a termo, aplicar a regra de derivação de uma potência, ou sem simplificar, aplicar a regra do quociente, já que se trata de uma razão de funções.

Passo 2

Vamos fazer a derivada do primeiro jeito, simplificando a função antes de derivá-la. A função é

f x = x 4 - 5 x 3 + x x 2

Precisamos relembrar que x = x 1 / 2 , e aí podemos transformar essa razão em vários termos de mesmo denominador, saca só

f x = x 4 x 2 - 5 x 3 x 2 + x 1 2 x 2

E simplificar a função:

f x = x 2 - 5 x + x - 3 / 2

E derivar essa função aplicando a regra da potência:

f ' x = 2 x - 5 - 3 2 x - 3 2 - 1 = 2 x - 3 2 x - 5 2 - 5

Vamos guardar esse resultado!

Tranquilo?

O próximo passo é derivar a função novamente, mas sem simplificar!

Vamos lá?

Passo 3

A função sem simplificar é assim:

f x = x 4 - 5 x 3 + x x 2

Ela pode ser vista como o quociente de duas outras funções g e h :

f x = g x h x

E a derivada de uma função assim pode ser encontrada aplicando a regra do quociente:

f ' x = g ' x h x - h ' x g x h 2 x

No nosso caso

g x = x 4 - 5 x 3 + x

E a derivada é:

g ' x = 4 x 3 - 15 x 2 + 1 2 x - 1 / 2

E a função debaixo h ( x ) é:

h x = x 2

cuja derivada é

h ' x = 2 x

Agora é só aplicar essas funções/derivadas na regra do quociente:

f ' x = g ' x h x - h ' x g x h 2 x

f ' x = 4 x 3 - 15 x 2 + 1 2 x - 1 / 2 x 2 - 2 x x 4 - 5 x 3 + x 1 2 x 2 2

Parece horrível! Mas se estamos certos, ao simplificarmos essa função, o resultado será o mesmo que encontramos no passo 2!

Passo 4

Agora bora simplificar esse resultado

f ' x = 4 x 3 - 15 x 2 + 1 2 x - 1 2 x 2 - 2 x x 4 - 5 x 3 + x 1 2 x 2 2

Fazendo as multiplicações no numerador:

f ' x = 4 x 5 - 15 x 4 + 1 2 x 3 / 2 - 2 x 5 + 10 x 4 - 2 x 3 2 x 4

f ' x = 2 x 5 - 5 x 4 - 3 2 x 3 2 x 4

Agora só falta simplificar! Vou separar em três termos de mesmo denominador

f ' x = 2 x 5 x 4 - 5 x 4 x 4 - 3 2 x 3 2 x 4

f ' x = 2 x - 5 - 3 2 x - 5 2

E comparando com a resposta que encontramos no passo 2:

f ' x = 2 x - 3 2 x - 5 2 - 5

Obtemos o mesmo resultado!

Que legal né!

Espero ter te ajudado! Até a próxima!

Resposta

f ' x = 2 x - 3 2 x - 5 2 - 5

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