Derive:

j )   y = e - x s e c ( x 2 )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = e - x s e c ( x 2 )

Aqui será conveniente utilizarmos a regra do quociente (mas vamos precisar reescrever um pouco o enunciado, beleza?), e também utilizar a regra da cadeia! Em conjunto vamos utilizar algumas derivadas conhecidas! Bora lá!

Passo 2

Vamos reescrever o nosso enunciado lembrando que

e - x = 1 e x

Ou seja, podemos escrever que a nossa função é

y = e - x s e c ( x 2 ) = s e c ( x 2 ) e x

Com esse formato agora podemos aplicar a regra do quociente! Você lembra qual é a definição? Vem comigo!

Passo 3

Temos que a regra do quociente é tal que

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) g ( x ) 2

nós temos que f ( x ) = s e c ( x 2 ) e g ( x ) = e x . Ou seja, aplicando a regra, nós temos que resolver a seguinte derivação

d d x [ s e c ( x 2 ) e x ] = d d x [ s e c ( x 2 ) ] e x - s e c ( x 2 ) d d x ( e x ) ( e x ) 2 = d d x [ s e c ( x 2 ) ] e x - s e c ( x 2 ) d d x ( e x ) e 2 x

A regra do quociente reduziu então uma derivada complicada para uma um pouco mais simples, em termo de derivadas conhecidas! A derivada da exponencial é bastante direta, você lembra qual é? Mas, a derivada da secante teremos que tomar um certo cuidado! Vamos fazer isso agora!

Passo 4

Para tirarmos do caminho, temos que a derivada da exponencial é dada por

d d x [ e x ] = e x

Isso é uma propriedade da própria função exponencial. Agora, vamos trabalhar com a derivada da secante! Aqui, vamos precisar usar a regra da cadeia, uma vemos que temos uma função composta da forma h ( x ) = f ( g ( x ) ) , temos que

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

Utilizando que f ( g ) = s e c ( g ) e que g = x 2 , nós temos que a derivada toma a seguinte forma

d d x [ s e c ( x 2 ) ] = d d g [ s e c ( g ) ] d d x [ x 2 ]

Ótimo! Aqui precisamos usar a regra do tombo para a segunda derivada, e podemos tomar como conhecida a derivada da secante! Mas note que é possível demonstrar esta derivada utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, esta demonstração está no site resolvida, já que também é uma questão desta lista de exercícios! Agora vamos terminar de resolver essa questão! Vem cá!

Passo 5

Temos que a regra do tombo dá que

d d x [ x n ] = n x n - 1

ou seja, com n = 2 , nós encontramos que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

e, utilizando que a derivada da secante é

d d g [ s e c ( g ) ] = t g ( g ) s e c ( g )

se lembrarmos que g = x 2 , podemos escrever a nossa derivada como

d d x [ s e c ( x 2 ) ] = [ t g ( x 2 ) s e c ( x 2 ) ] [ 2 x ] = 2   x   t g ( x 2 )   s e c ( x 2 )

Uff… Tenha calma que estamos quase acabando! Só precisamos juntar todos os nossos resultados e simplificar a expressão! Bora lá!

Passo 6

A derivada original que queríamos calcular era

d d x [ s e c ( x 2 ) e x ] = d d x [ s e c ( x 2 ) ] e x - s e c ( x 2 ) d d x ( e x ) e 2 x

Utilizando os resultados que obtivemos nos passos anteriores, temos que

d d x [ s e c ( x 2 ) e x ] = [ 2   x   t g ( x 2 )   s e c ( x 2 ) ] e x - s e c ( x 2 ) [ e x ]   e 2 x

Podemos colocar s e c ( x 2 ) e x em evidencia, de forma que podemos simplificar a expressão para

d d x [ s e c ( x 2 ) e x ] = [ 2   x   t g ( x 2 )   - 1 ] s e c ( x 2 ) e x   e 2 x

Nós também temos que

e x e 2 x = e x - 2 x = e - x

Portanto, nossa derivada tem o seguinte formato

d d x [ s e c ( x 2 ) e x ] = s e c ( x 2 ) e - x [ 2   x   t g ( x 2 ) - 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ s e c ( x 2 ) e x ] = s e c ( x 2 ) e - x [ 2   x   t g ( x 2 ) - 1 ]

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