Considere a função f ( x ) = s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 x 2 + 1

a ) Calcule f ' ( x )

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Temos uma função definida como

f ( x ) = s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 x 2 + 1

e precisamos calcular a sua derivada de primeira ordem f ' ( x ) . Para isso vamos precisar utilizar diversas propriedades da derivada e algumas regrinhas! As principais serão

Regra do quociente

d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) g ( x ) 2

e a regra da cadeia

d d x ( f ( g ( x ) ) ) = d f ( g ) d g g ' ( x )

Em todas estas regras usei ' para resumir as derivadas em relação a x . Com isso tudo, e lembrando algumas derivadas específicas, iremos conseguir calcular a nossa derivada! Vamos lá!

Passo 2

Vamos passo a passo, a primeira coisa é utilizar a regra do quociente, vamos tomar a nossa função como

f ( x ) = s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 x 2 + 1 = g ( x ) h ( x )

em que estou identificando g ( x ) = s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 e h ( x ) = x 2 + 1 . Aplicando a regra do quociente, ou seja

d d x ( g ( x ) h ( x ) ) = g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) h ( x ) 2

Ou, substituindo nossa identificação, temos que

d d x ( g ( x ) h ( x ) ) = d d x ( s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 ) ( x 2 + 1 ) - ( s e n ( t g ( x 2 ) ) ) d d x ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) 2

Temos que calcular as duas derivadas que faltam! E para isso vamos precisar utilizar a regra da cadeia! Vamos lá!

Passo 3

Primeiro, vamos calcular

d d x ( s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 )

Podemos separar isso em duas derivadas da forma

d d x ( s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 ) = d d x ( s e n ( t g ( x 2 ) ) ) + d d x ( x + 9 )

A primeira derivada requer que utilizemos a regra da cadeia duas vezes, uma vez que é uma função composta, com outra função composta, ou seja, algo do tipo

s e n ( t g ( x 2 ) ) = g ( h ( i ( x ) ) )

em que identifico g ( h ) = s e n ( h ) , em que h ( i ) = t g ( i ) e i ( x ) = x 2 . Portanto, usando a regra da cadeia temos que

d d x g ( h ( i ( x ) ) ) = d d h ( g ( h ) ) d d i ( h ( i ) ) d d x ( i ( x ) )

Agora vamos precisar relembrar algumas derivadas! Dê uma olhada em seus formulários, e volte aqui para continuarmos!

Passo 4

Temos as seguintes derivadas conhecidas que podem ser utilizadas

d d h ( g ( h ) ) = d d h s e n ( h ) = c o s ( h )

também temos que

d d i ( h ( i ) ) = d d i ( t g ( i ) ) = s e c 2 ( i )

E, podemos utilizar que

d d x x n = n x n - 1

para calcular a componente que falta

d d x i ( x ) = d d x ( x 2 ) = 2 x

Utilizando o que chamamos de g ( h ( i ( x ) ) ) , temos que

d d x ( s e n ( t g ( x 2 ) ) ) = 2 c o s ( t g ( x 2 ) ) s e c 2 ( x 2 ) x

Bastante coisa neh? Ainda temos algumas derivadas para calcular, então calma! Vamos guardar este resultado por agora!

Passo 5

Para a segunda derivada, podemos usar a seguinte regra

d d x x n = n x n - 1

assim como usamos em x 2 acima, mas agora, temos que n = 1 / 2 . O que nos resulta em

d d x x + 9 = 1 2 x + 9

Ou seja, temos que a primeira derivada que precisávamos calcular é

d d x ( s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 ) = 2 c o s ( t g ( x 2 ) ) s e c 2 ( x 2 ) x + 1 2 x + 9

Ainda precisamos calcular mais uma derivada! Vamos com calma que a gente chega lá!

Passo 6

Precisamos calcular a derivada

d d x ( x 2 + 1 ) = d d x ( x 2 ) + d d x ( 1 )

Como a derivada de constantes é zero, e usando novamente que

d d x x n = n x n - 1

mas agora com n = 2 , temos que

d d x ( x 2 + 1 ) = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Reunindo todos os resultados que calculamos até agora, temos que

d d x ( f ( x ) ) = ( 2 c o s ( t g ( x 2 ) ) s e c 2 ( x 2 ) x + 1 2 x + 9 ) ( x 2 + 1 ) - ( s e n ( t g ( x 2 ) ) ) ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2

E essa é a nossa derivada! A primeira alternativa foi isso! Vamos partir para a segunda! Te vejo jájá! Tchau Tchau!

Resposta

d d x ( f ( x ) ) = ( 2 c o s ( t g ( x 2 ) ) s e c 2 ( x 2 ) x + 1 2 x + 9 ) ( x 2 + 1 ) - ( s e n ( t g ( x 2 ) ) ) ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2

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