Derive a função:

f x = x 3 s e n 1 x 4 ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa derivada parece complicada de se resolver, mas vou te ajudar! Temos essa função aqui definida por partes:

f x = x 3 s e n 1 x 4 ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

E queremos sua derivada!

Quando a função é ‘quebrada’, primeiro precisamos ver se ela é contínua, para depois derivar! Ok?

Mostrando que ela é contínua, então derivamos (com as regras de derivação normais que a gente conhece) os seus pedaços!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Para mostrar que uma função é contínua em um determinado ponto x = a , precisamos que

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Nossa função é essa aqui:

f x = x 3 s e n 1 x 4 ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Precisamos então verificar se ela é contínua em x = 0 , pois é onde ocorre essa ‘quebra’, tudo bem?

Mas em x = 0 já temos o valor, que é mostrado na segunda linha da função:

f x = 0 ,   s e   x = 0

Então está ok! Agora precisamos descobrir o limite quando x → 0 , e para isso vamos precisar calcular

lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4

esse limite assusta, mas lembra que o limite de um produto é o produto dos limites:

lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 = lim x → 0 ⁡ x 3 . lim x → 0 ⁡ s e n 1 x 4

E a função seno é uma função limitada. Ela assume valores entre - 1 e 1, não importando o valor de seu argumento.

Já a função x 3 assume o valor 0 quando x → 0 , então o limite da função f ( x ) é:

lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 = lim x → 0 ⁡ x 3 . lim x → 0 ⁡ s e n 1 x 4 = 0 . a l g o   e n t r e - 1   e   1 = 0

O que é ótimo! Pois indica que essa função é contínua! E podemos seguir fazendo nossa derivada!

Passo 3

Voltando para nossa função f ( x ) :

f x = x 3 s e n 1 x 4 ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Sabemos que ela é contínua, então agora só nos resta derivar as partes.

Para x = 0 :

f x = 0

E, portanto, sua derivada é zero.

f ' = 0

Agora para x ≠ 0 :

f x = x 3 s e n 1 x 4

Logo de cara vemos que tem um produto de funções: o seno está multiplicando uma potência fracionária. Então para derivar vamos usar a Regra do Produto

f x = g . h

A derivada de f é:

f ' x = g ' h + h ' g

Vamos identificar as funções. Para a função g temos

g = x 3

Cuja derivada é:

g ' = 3 x 2

E a h :

h = s e n 1 x 4

e derivando temos o seguinte:

h ' = - 4 x 5 cos ⁡ 1 x 4

Agora é só substituir:

f ' = 3 x 2 . s e n 1 x 4 + x 3 . - 4 x 5 cos ⁡ 1 x 4

agora só nos resta simplificar:

f ' = 3 x 2 s e n 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2

Ufa! Terminamos! É isso galera! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

f ' = 3 x 2 s e n 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )