Sejam X t = ( x 1 t ,   x 2 t ,   … ,   x n t ) e Y t = ( y 1 t ,   y 2 t ,   … ,   y n t ) duas curvas no espaço R n . Mostrar que, para o produto escalar

X t Y t = x 1 t y 1 t + x 2 t y 2 t + … + x n ( t ) y n ( t )  

vale a regra de derivação

X t Y t ' = X t Y ' t + X ' t Y ( t )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente que no produto escalar de X ( t ) e Y ( t ) vale a regra do produto na derivação. Pra isso, vamos partir da derivada X t Y t ' , usando o produto escalar que o enunciado nos deu, e derivar as componentes do vetores para chegar em X t Y ' t + X ' t Y ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Partindo de X t = ( x 1 t ,   x 2 t ,   … ,   x n t ) e Y t = ( y 1 t ,   y 2 t ,   … ,   y n t ) , vamos escrever a derivada do produto escalar:

X t ∙ Y t ' = ( x 1 t ,   x 2 t ,   … ,   x n t ) ∙ ( y 1 t ,   y 2 t ,   … ,   y n t ) '

Fazendo o produto escalar do lado direito, entre as componentes do vetor, temos:

X t ∙ Y t ' = x 1 t ∙ y 1 t + x 2 t ∙ y 2 t + … + x n t ∙ y n ( t ) '

Derivando esses produtos do lado direito, temos:

X t ∙ Y t ' = x 1 ' t y 1 t + x 1 t y 1 ' t + x 2 ' t y 2 t + x 2 t y 2 ' t + … + x n ' t y n t + x n t y n ' ( t )

Repare que a gente tem sempre a derivada da primeira função vezes a segunda função somada a derivada da segunda função vezes a primeira. Como as componentes do vetor podem ser escrita dessa forma, de maneira condensada temos:

X t Y t ' = X t Y ' t + X ' t Y ( t )

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

X t Y t ' = X t Y ' t + X ' t Y ( t )

Exercícios de Livros Relacionados

Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )