Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Elaboração Própria

Calcule a derivada da seguinte função:

y = ln ⁡ x - x x + x 2

Passo 1

Assim como derivada da soma é a soma das derivadas, a derivada da subtração é a subtração das derivadas:

y ' = ln ⁡ x ' - x x + x 2 '

Agora, nós podemos resolver as duas derivadas separadamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A derivada do logaritmo nós conhecemos:

ln ⁡ x ' = 1 x

Passo 3

De resto temos que usar a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

x x + x 2 ' = x ' x + x 2 - x x + x 2 ' x + x 2 2

Agora vamos calcular as derivadas:

x x + x 2 ' = x + x 2 - x 1 2 x - 1 2 + 2 x x + x 2 2

Pronto! Mas ainda podemos melhorar a cara dessa derivada, aplicando a distributiva em x 1 2 x - 1 2 + 2 x e depois fazendo a subtração:

x x + x 2 ' = x + x 2 - x 2 + 2 x 2 x + x 2 2 = x 2 - x 2 x + x 2 2

Passo 4

Agora que calculamos as derivadas em separado, vamos subtrair tudo:

y ' = ln ⁡ x ' - x x + x 2 '

= 1 x - x 2 - x 2 x + x 2 2

Resposta

y ' = 1 x - x 2 - x 2 x + x 2 2

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