Considere um sistema massa-mola sem atrito em que a massa do sistema é m e a constante de elasticidade da mola é k .

  1. Coloque a origem do eixo de coordenadas na posição de repouso do sistema e use a segunda lei de Newton e a lei de Hooke para para concluir que m a ( t )   =   - k s ( t ) .
  2. Assuma posição inicial e velocidade inicial são s 0 e v 0 , respectivamente, e mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função s ( t ) que satisfaz
  3. m s ' ' t = - k s ( t ) s 0 = s 0 s ' 0 = v 0

  4. Mostre que, para quaisquer números A e B , a função s t = A cos ⁡ ( ω t ) + B   s e n   ω t satisfaz m s ' ' t = - k s ( t ) , em que ω = k m .
  5. Mostre que, para s t = A cos ⁡ ( ω t ) + B   s e n   ω t satisfazer s 0 = s 0 e s ' 0 = v 0 , então s t = s 0 cos ⁡ ( ω t ) + v 0 ω   s e n   ω t .
  6. Mostre que v t = v 0 cos ⁡ ( ω t ) - s 0 ω   s e n   ( ω t ) .
  7. Determine s t para s 0 = 0 e v 0 = 0 . Interprete o resultado fisicamente.
  8. Determine s ( t ) para s 0 = L > 0 e v 0 = 0 . Interprete o resultado fisicamente

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. vamos primeiro fazer uma figura para podermos entender melhor o problema, belezinha? Se liga ae:

Note que atribuímos a origem do eixo de coordenadas quando o objeto está em repouso (quando s = 0 ).

Assim, pela 2ª Lei de Newton, sabemos que, para essa posição adotada do objeto:

F r e s = m a ( t )

F e l á s t i c a = - k s ( t )

Pelo diagrama do corpo livre, podemos observar que:

F r e s = F e l á s t i c a

Logo, substituindo os valores, encontramos:

m a t = - k s ( t )

Passo 2

Para a letra (b), a gente tem que saber que sendo a t = d v d t = d 2 s d t 2 e os valores iniciais de posição e velocidades iguais a s 0 e v 0 respectivamente, temos para a situação:

m s ' ' t = - k s ( t ) s 0 = s 0 s ' 0 = v 0

Passo 3

Para a letra (c) temos que, derivando s ( t ) :

s ' t =   B ω cos ⁡ ( ω t ) - A ω   s e n   ω t

E derivando novamente:

s ' ' t = - B ω 2 s e n   ω t - A ω 2 cos ⁡ ( ω t )

E, substituindo s ' ' ( t ) , temos:

m s ' ' t - B ω 2 s e n   ω t - A ω 2 cos ⁡ ω t ∴

- m ω 2 A cos ⁡ ω t + B   s e n   ω t ∴

- m k m 2 s t ∴

= k s ( t )

Passo 4

Para a letra (d), seja:

s 0 = A cos ⁡ 0 + B   s e n 0 ∴

A = s 0

Aí a gente deriva de tal forma que:

s ' 0 = B ω cos ⁡ 0 - A ω   s e n 0 ∴

B ω = v 0 ∴

B = v 0 ω

Assim, substituindo em s ( t ) , temos:

s t = s 0 cos ⁡ ( ω t ) + v 0 ω s e n ( ω t )

Passo 5

Para a letra (e), se substituirmos A e B em s ' ( t ) , temos:

s ' t = v 0 cos ⁡ ( ω t ) - s 0 ω s e n ( ω t )

Lembrando que v t = s ' ( t ) , logo:

v t = v 0 cos ⁡ ( ω t ) - s 0 ω s e n ( ω t )

Passo 6

Para a letra (f), quando s 0 = 0 e v 0 = 0 , temos que s t = 0 .

Tá... mas o que isso significa?

Significa que essa situação reflete o estado de repouso do sistema massa-mola!!!

Passo 7

Na letra (g) temos que para s 0 = L e v 0 = 0 , s t = L cos ⁡ ( ω t ) .

Tá... outra vez.. o que isso significa???

Essa situação reflete o estado em que a mola foi esticada até o ponto de distância L da origem, enquanto s ( t ) indica que a posição da massa do sistema oscilará entre - L e L .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )