Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Questão 2) Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação:

b)

g x = x 3 - cos ⁡ x x 4 - 7 x 2

Passo 1

Então, vamos começar aqui aplicando a regra do produto, afinal se trata de uma multiplicação de dois termos...

g x = x 3 - cos ⁡ x x 4 - 7 x 2         →

g ' x = x 3 - cos ⁡ x x 4 - 7 x 2 ' + x 3 - cos ⁡ x ' x 4 - 7 x 2

O nosso problema agora é calcular aquelas duas derivadas aí. Vem comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando por essa primeira derivada aqui...

x 4 - 7 x 2 '

É uma derivada de polinômio simples, basta aplicar a “regra do tombamento”:

x 4 - 7 x 2 ' = 4 x 3 - 14 x

Passo 3

Calculando a outra derivada...

x 3 - cos ⁡ x '

A derivada da subtração é a subtração das derivadas...

x 3 - cos ⁡ x ' = x 3 ' - cos ⁡ x '

A derivada do cosseno é o - sin ⁡ x

x 3 - cos ⁡ x ' = x 3 ' - - sin ⁡ x

x 3 - cos ⁡ x ' = x 3 ' + sin ⁡ x

Agora, lembrando-se de que x 3 = x 1 3 ...

x 3 - cos ⁡ x ' = x 1 3 ' + sin ⁡ x

x 3 - cos ⁡ x ' = 1 3 x 1 3 - 1 + sin ⁡ x = 1 3 x - 2 3 + sin ⁡ x

x 3 - cos ⁡ x ' = 1 3 x 2 3 + sin ⁡ x

Passo 4

Voltando para a derivada central...

g ' x = x 3 - cos ⁡ x x 4 - 7 x 2 ' + x 3 - cos ⁡ x ' x 4 - 7 x 2

g ' x = x 3 - cos ⁡ x 4 x 3 - 14 x + 1 3 x 2 3 + sin ⁡ x x 4 - 7 x 2

Como ela não vai simplificar muito, a derivada final é essa daí mesmo

Resposta

g ' x = x 3 - cos ⁡ x 4 x 3 - 14 x + 1 3 x 2 3 + sin ⁡ x x 4 - 7 x 2

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