Se f x = x g x ,   g 4 = 8 e g ' 4 = 7 , determine f ' ( 4 )

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu uma função f ( x )

f x = x g x

E sobre uma outra função g , nos deu algumas informações dela:

g 4 = 8

g ' 4 = 7

E perguntou quanto vale a derivada de f no ponto x = 4 .

Para resolver essa questão precisamos relembrar de algumas coisinhas sobre derivadas

  • A derivada da raiz quadrada: a gente transforma a raiz em potência, aplica a regra de derivação de uma potência e transforma de novo para raiz, assim
  • F x = x = x 1 / 2

    F ' x = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

    F ' x = 1 2 x

  • Quando a derivada envolve o produto de funções? Aí aplicamos a regra do produto! Ela é assim, seja o produto de duas funções a e b , a derivada desse produto é

a b ' = a ' b + b ' a

São essas duas ferramentas que vamos precisar! Repara que a função f ( x ) é um produto de duas funções: g ( x ) e x

E para derivar a função f ( x ) vamos usar a regra do produto, que envolve a derivada de cada parcela desse produto, então aqui vamos usar a derivada da raiz e a informação da derivada da função g no ponto dado, x = 4

Então a ideia aqui é a seguinte: aplicar a regra do produto na f , derivar o que for preciso, aplicar o ponto dado (aqui é só substituir x por 4 ) e usar as informações sobre a função g ( x ) dada!

Beleza?

Mas pode ficar tranquilo que vou fazer com você passo a passo

Passo 2

A função que queremos derivar é

f x = x g ( x )

Ela é o produto de duas outras funções: g ( x ) e x , então vamos usar a regra do produto!

Como comentei ali no passo 1, a regra do produto para uma função ( a b ) é:

a b ' = a ' b + b ' a

Aqui a = x e b = g ( x ) . Assim a regra do produto fica:

f ' x = x g x ' = x ' g x + x g ' x

Também no passo 1 vimos que x ' = 1 2 x , então vou substituir:

f ' x = 1 2 x g x + x g ' ( x )

Tranquilo?

Passo 3

Mas o problema nos pede a derivada de f no ponto x = 4 , então vamos substituir na expressão que acabamos de encontrar:

f ' 4 = 1 2 4 g 4 + 4 g ' ( 4 )

f ' 4 = 1 4 g 4 + 2 g ' ( 4 )

E aqueles valores de g 4 e g ' ( 4 ) ? Foram as informações dadas sobre a função g ! Embora não saibamos a cara que ela tem, sabemos os valores da função e de sua derivada no ponto que queremos!

g 4 = 8

g ' 4 = 7

Então é só substituir:

f ' 4 = 1 4 . 8 + 2.7 = 4 + 14 = 18

Beleza?

f ' 4 = 18

Resposta

f ' 4 = 18

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