Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

3b) Calcule, usando as regras de derivação, as derivadas das seguintes funções:

g t = t sin ⁡ t ln ⁡ t

Passo 1

A primeira coisa a fazer quando temos que usar regras de derivação é sacar o que ta acontecendo na função a ser derivada, saca só:

g t = t sin ⁡ t ln ⁡ t

Se eu entender t sin ⁡ t como uma função e ln ⁡ t como outra, não tem jeito galera, é regra do quociente que vamos usar! Sendo assim, a derivada fica:

g ' t = t sin ⁡ t ' ln ⁡ t - t sin ⁡ t ln ⁡ t '   ln 2 ⁡ t

É, eu sei, acabamos trocando uma derivada por duas. Uma delas é bem direta:

ln ⁡ t ' = 1 t

Sendo assim:

g ' t = t sin ⁡ t ' ln ⁡ t - t sin ⁡ t t   ln 2 ⁡ t

Já a outra derivada que sobrou...

t sin ⁡ t '

Só vai sair se usarmos regra do produto. Vamos achar essa derivada então.

Passo 2

Fazendo a regra do produto pra essa derivada, vamos ter:

t sin ⁡ t ' = t ' sin ⁡ t + t   sin ⁡ t '

Se enxergarmos t como t 1 2 , que é a mesma coisa, podemos derivar tranquilamente usando a regra dos polinômios. Dá aquele peteleco no 1 2 que cai multiplicando e perde uma unidade:

t ' = t 1 2 ' = 1 2 t 1 2 - 1 = 1 2 t - 1 2 = 1 2 t 1 2 = 1 2 t

A derivada que falta também é direta:

sin ⁡ t ' = cos ⁡ t

Sendo assim:

t sin ⁡ t ' = sin ⁡ t 2 t + t cos ⁡ t

Passo 3

Agora falta só juntar tudo e responder a questão. Se:

g ' t = t sin ⁡ t ' ln ⁡ t - t sin ⁡ t t   ln 2 ⁡ t

t sin ⁡ t ' = sin ⁡ t 2 t + t cos ⁡ t

Então:

g ' t = sin ⁡ t 2 t + t cos ⁡ t ln ⁡ t - t sin ⁡ t t   ln 2 ⁡ t

Se quiser, pode juntar tudo no mesmo denominador e fazer a distributiva pra ficar mais bonitinho. Eu vou fazer aqui, mas se responder assim mesmo, tá tranquilo, ok?

g ' t = sin ⁡ t ln ⁡ t + 2 t cos ⁡ t ln ⁡ t - 2 sin ⁡ t   2 t ln 2 ⁡ t

Resposta

g ' t = sin ⁡ t ln ⁡ t + 2 t cos ⁡ t ln ⁡ t - 2 sin ⁡ t   2 t ln 2 ⁡ t