22 – Seja y = - 2 x 2 + k , k constante. Verifique que d y d x - x y 2 = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Vamos resolver mais umazinha pra conta? 😉👍

O primeiro passo sempre é tentar entender o que devemos fazer na questão.

Calma! Não desiste não, eu tô com você!

O problema deu pra gente a função

y = - 2 x 2 + k

E pediu pra gente verificar se

d y d x - x y 2 = 0

Na verificação precisaremos fazer a derivada de y em ralação a x que é esses d y d x , depois devemos subtrair o produto de x por y 2 , lembrando que y = - 2 x 2 + k , e isso tem que ser igual a zero. Ou seja, se a gente fizer tudo certinho, o lado esquerdo terá que dar zero. Sacou?!

Bom, então vamos precisar de todas as partes dessa relação, e para isso precisamos saber quem é y e quem é d y d x .

Bora descobrir! Partiu?!😎

Passo 2

O enunciado já nos disse que y = - 2 x 2 + k

Ah, não se preocupe com esse k , pois o enunciado já disse pra gente que ele é uma constante.

Mas ainda precisamos achar d y d x , e como a função y é uma fração vamos usar a regra do quociente pra resolvê-la. Essa regra diz pra gente o seguinte:

Se

y = g x h x

d y d x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h x 2

Em nossa função temos

y = - 2 x 2 + k

Onde

g x = - 2

e

h x = x 2 + k  

Fazendo as derivadas, ficaremos com

g ' x = 0

e

h ' x = 2 x

Agora vamos aplicar tudo isso na regra do quociente.

Passo 3

Aplicando o que acabamos de encontrar na regra do quociente, ficaremos com

d y d x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h x 2

d y d x = 0 ⋅ x 2 + k - - 2 ⋅ 2 x x 2 + k 2

Arrumando tudo, nossa derivada será igual a

d y d x = 4 x x 2 + k 2

Passo 4

Maravilha, agora o que nos resta é colocar tudo na relação que o problema deu pra gente, que é essa aqui:

d y d x - x y 2 = 0

Substituindo d y d x por 4 x x 2 + k 2 e y por - 2 x 2 + k , ficamos com:

4 x x 2 + k 2 - x ⋅ - 2 x 2 + k 2   = 0

Resolvendo a potência da segunda parcela, teremos:

4 x x 2 + k 2 - 4 x x 2 + k 2   = 0

Perceba que o lado esquerdo da equação é composto de duas parcelas simétricas que dará zero, mostrando que a relação é verdadeira.

E é isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Demonstração.

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )