20 – Derive.

v) f x = x 2 + 1 x + 1

Passo 1

Fala aí!! Tudo certinho por aí? Se você está tendo um pouco de dificuldades nessa questão, não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nosso objetivo nesse problema é calcular a derivada de f x dada por

f x = x 2 + 1 x + 1

A primeira coisa que deve nos chamar a atenção na hora de resolver uma derivada desse tipo, é a carinha que a função tem. Essa é uma função expressa por um quociente entre duas outras funções: a função x 2 + 1 e a função x + 1 .

Para esses casos existe uma regra toda especial que podemos aplicar. É a regra do quociente, que diz o seguinte:

Se

f x = g x h x

Então

f ' x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h 2 x

Agora o que precisamos fazer é aplicar essa relação aí. Vem comigo pra gente matar essa juntos. 😎

Passo 2

Primeiro de tudo é entender quem é quem.

Vamos chamar

g x = x 2 + 1

e

h x =   x + 1

E agora precisamos encontrar g ' x e h ' x .

Começando com g ' x .

Como g x = x 2 + 1 é uma função polinomial, devemos usar a regra do expoente, que diz:

y = x n → y ' = n ⋅ x n - 1

E como o 1 é uma constante, e derivada de constante é igual a zero.

Assim,

g x = x 2 + 1

g ' x = 2 x

Show, já temos o primeiro pedaço.

Passo 3

Agora vamos olhar para a função h x =   x + 1

Aqui temos que tomar um pouco mais de cuidado, pois essa é uma função composta. Repare que temos a função x + 1 , dentro de uma raiz quadrada. Ou seja, temos uma função dentro da outro. Por isso dizemos que essa é uma função composta.

Nesses casos, para fazer a derivada dela nós usamos a regra da cadeia, que diz o seguinte:

Se

h x = f g x

h ' x = g ' x · f ' g x

O que significa que devemos fazer a derivada da função de dentro, vezes a derivada da função de fora.

Então, bora aplicar isso para a nossa função:

h x =   x + 1

Antes repare que a função pode ser escrita como

h x = x + 1 1 2

e a derivada se torna

h ' x = 1 2 ⋅ x + 1 - 1 2

Que também pode ser escrita como:

h ' x = 1 2 x + 1

Show de bola, agora nós já temos tudo que precisávamos para escrever a derivada da função f x . Bora lá!!!

Passo 4

Lembrando que

f x = x 2 + 1 x + 1

Que

g x = x 2 + 1

g ' x = 2 x

h x =   x + 1

h ' x = 1 2 x + 1

Basta aplicar tudo agora na regra do quociente.

f ' x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h 2 x

Ficando com:

f ' x = 2 x ⋅   x + 1 - x 2 + 1 ⋅ 1 2 x + 1 x + 1 2

Eita!!! Ficou bem feio, não foi? Então vamos ajeitar tudo isso aí fazendo algumas manobras algébricas que vão deixar o seu professor felizão e você tirando onda!

Passo 5

Nossa derivada é

f ' x = 2 x ⋅   x + 1 - x 2 + 1 ⋅ 1 2 x + 1 x + 1 2

Vamos reescrevê-la assim:

f ' x = 2 x ⋅   x + 1 1 - x 2 + 1 2 x + 1 x + 1 2

No numerador temos duas frações sendo subtraídas. Então vamos tirar o m.m.c. entre os denominadores 1 e 2 x + 1 , que é o próprio 2 x + 1 .

Para fazer a operação entre as frações nós dividimos o m.m.c. pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo numerador. O que vai nos deixar com:

f ' x = 4 x ⋅ x + 1 - x 2 + 1 2 x + 1 x + 1 2

Distribuindo a multiplicação do 4 x ⋅ ( x + 1 ) , teremos:

f ' x = 4 x 2 + 4 x - x 2 - 1 2 x + 1 x + 1 2

Que nos dá

f ' x = 3 x 2 + 4 x - 1 2 x + 1 x + 1 2

Agora temos uma fração no numerador, então vamos inverter o denominador multiplicando. Assim:

f ' x = 3 x 2 + 4 x - 1 2 x + 1 ⋅ 1 x + 1 2

Que nos dará:

f ' x = 3 x 2 + 4 x - 1 2 x + 1 3 2

E pronto. Ufa! Sei que essa foi mais chatinha, mas conseguimos. Agora respira fundo, e vamos pra próxima.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 3 x 2 + 4 x - 1 2 x + 1 3 2

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