Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Regras de Derivação I

Derive a função abaixo

f x = 2 x 4 + 5 x 6 3 x 2 - 9

Passo 1

Vamos derivar usando as propriedades de derivada, temos uma divisão, lembra como vamos derivar essa parada? Vamos lembrar como é a regra do quociente.

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Vamos aplicar isso aquele polinômio

f ' x = 2 x 4 + 5 x 6 3 x 2 - 9 '

f ' x = 2 x 4 + 5 x 6 ' 3 x 2 - 9 - 2 x 4 + 5 x 6 3 x 2 - 9 ' 3 x 2 - 9 2

Vamos calcular cada um desses polinômios separados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando com

2 x 4 + 5 x 6 '

Vamos lembrar como é a regra da soma, subtração e múltiplos.

a f x ± b g x ' = a f ' x ± b g ' x

Vamos aplicar isso aquele polinômio

2 x 4 + 5 x 6 ' = 2 x 4 ' + 5 x 6 '

Lembrando que, a derivada de polinômio é assim

x n ' = n x n - 1

2 x 4 + 5 x 6 ' = 2.4 x 3 + 5.6 x 5 = 8 x 3 + 30 x 5

Passo 3

Vamos agora para a outra derivada

3 x 2 - 9 '

Aplicando as propriedade que já vimos, vamos ter

3 x 2 - 9 ' = 3 x 2 ' - 9 ' = 3.2 x 1 - 0 = 6 x

Passo 4

Voltando para a função f x , temos

f ' x = 2 x 4 + 5 x 6 ' 3 x 2 - 9 - 2 x 4 + 5 x 6 3 x 2 - 9 ' 3 x 2 - 9 2

f ' x = 8 x 3 + 30 x 5 3 x 2 - 9 - 2 x 4 + 5 x 6 6 x 3 x 2 - 9 2

⇒ 24 x 5 - 72 x 3 + 90 x 7 - 270 x 5 - 12 x 5 + 30 x 7 3 x 2 - 9 2

⇒ 24 x 5 - 72 x 3 + 90 x 7 - 270 x 5 - 12 x 5 - 30 x 7 3 x 2 - 9 2

⇒ 60 x 7 - 258 x 5 - 72 x 3 3 x 2 - 9 2

Resposta

f ' x = 60 x 7 - 258 x 5 - 72 x 3 3 x 2 - 9 2

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