[Queda livre com resistência do ar.] Considere um objeto de massa m que é largado em queda livre numa situação em que a força de resistência que o ar oferece é diretamente proporcional à velocidade do objeto com constante de proporcionalidade k.

  1. Coloque a origem do eixo de coordenadas na posição inicial do objeto e com sentido positivo na direção do movimento. Use a segunda lei de Newton para concluir que m a t = m g - k v ( t ) .
  2. Mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função s(t) que satisfaz
  3. m s ' ' t = m g - k s ' ( t ) s 0 = 0 s ' 0 = 0

  4. Mostre que, para quaisquer números A e B, a função s t = A e - k t m + B + m g k t satisfaz a equação m s ' ' t = m g - k s ' ( t ) .
  5. Mostre que, para s t = A e - k t m + B + m g k t satisfazer s 0 = 0 e s ' 0 = 0 , então s t = m g k t - m 2 g k 2 1 - e k t m .
  6. Mostre que v t = m g k 1 - e - k t m .

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. vamos primeiro fazer o diagrama do corpo livre para compreendermos melhor o problema:

Passo 2

Sabemos que:

  • F r e s u l t a n t e = m a ( t )
  • F r e s i s t ê n c i a = k v t
  • F g r a v i t a c i o n a l = m g

E, pela 2 ª Lei de Newton, temos que:

F r e s u l t a n t e = F g r a v i t a c i o n a l - F r e s i s t ê n c i a

Assim, substituindo os valores, temos:

m a t = m g - k v ( t )

Passo 3

Sabendo que v t = d s d t e a t = d v d t = d 2 s d t 2 e que, na origem, v 0 = 0 e s 0 = 0 , a equação de (a) pode ser resumida por:

m s ' ' t = m g - k s ' ( t ) s 0 = 0   ( r e p o u s o ) s ' 0 = 0   ( r e p o u s o )

Passo 4

Derivando s ( t ) , temos:

s ' t = - A k m e - k t m + m g k

E, fazendo a segunda derivada, temos:

s ' ' t = - A k 2 m 2 e - k t m

Por outro lado, substituindo s ' ( t ) na equação, temos:

m s ' ' t = m g - k - A k m e - k t m + m g k ∴

m s ' ' t = m g - m g + A k 2 m 2 e - k t m ∴

s ' ' t = A k 2 m 2 e - k t m

Como encontramos o mesmo resultado para s ' ' ( t ) , o resultado confere.

Passo 5

Seja s t = A e - k t m + B + m g k t , sabemos que:

s 0 = A e 0 + B + 0 ∴

s 0 = A + B = 0

Nesse mesmo sentido, para s ' t = - A k m e - k t m + m g k , temos que:

s ' 0 = - A k m e 0 + m g k = 0 ∴

- A k m + m g k = 0 ∴

A = m 2 g k 2

Como temos A , então podemos encontrar B :

A + B = 0 ∴

m 2 g k 2 + B = 0 ∴

B = - m 2 g k 2

Dessa forma, substituindo A e B em s ( t ) , temos:

s t = m g k t + m 2 g k 2 e - k t m - 1

Passo 6

Ainda, sabe-se que v t = s ' ( t ) , logo, sendo A = m 2 g k 2 , temos que:

s ' t = v t = - m 2 g k 2 ∙ k m e - k t m + m g k ∴

v t = m g k e - k t m - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. m a t = m g - k v ( t )
  2. m s ' ' t = m g - k s ' ( t ) s 0 = 0   ( r e p o u s o ) s ' 0 = 0   ( r e p o u s o )
  3. s ' ' t = A k 2 m 2 e - k t m
  4. s t = m g k t + m 2 g k 2 e - k t m - 1
  5. v t = m g k e - k t m - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )