Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

a) Determine a função derivada

f x = 2 x 4 + 5 x 2 + 1 e x + 1

Passo 1

Antes de começarmos, vamos dar uma boa olhada na função que vamos derivar:

f x = 2 x 4 + 5 x 2 + 1 e x + 1

Opa, não é que tem duas funções sendo multiplicadas? Se chamarmos

g x = 2 x 4 + 5 x 2 + 1

h x = e x + 1

Podemos olhar f x como:

f x = g x h x

E pra derivar um produto de função usamos ninguém mais e ninguém menos que a regra do produto, que fica:

f ' x = g ' x h x + g x h ' x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando as derivadas de g x e h x

Vamos na ordem, a primeira função que queremos derivar é g x , que é um polinômio de quarto grau:

g x = 2 x 4 + 5 x 2 + 1

Usando a regra:

x a ' = a x a - 1

Ficamos com:

g ' x = 8 x 3 + 10 x

Agora pra h x , que é uma função exponencial somado a uma constante, temos:

h x = e x + 1

Como a derivada de uma constante é 0 e a derivada de uma exponencial é, bem, ela mesma...

Então:

h ' x = e x

E a derivada de f x fica então:

f ' x = g ' x h x + g x h ' x

f ' x = 8 x 3 + 10 x e x + 1 + 2 x 4 + 5 x 2 + 1 e x

f ' x = 2 x 4 + 8 x 3 + 5 x 2 + 10 x + 1 e x + 8 x 3 + 10 x

Resposta

f ' x = 2 x 4 + 8 x 3 + 5 x 2 + 10 x + 1 e x + 8 x 3 + 10 x

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