Sejam f e g funções e suponha que f ( 5 )   =   1 , f ' ( 5 )   =   6 , g 5 =   - 3 e g ' ( 5 )   =   2 . Determine o que se pede.

  1. f + g ' 5
  2. 2 f - g ' 5
  3. f g ' ( 5 )
  4. f g ' ( 5 )
  5. g f ' ( 5 )

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu as seguintes informações sobre uma função f   no ponto x = 5 :

f 5 = 1

f ' 5 = 6

E sobre uma outra função g , também no ponto x = 5 :

g 5 = - 3

g ' 5 = 2

E perguntou nos vários itens, todos relacionados com a derivada dessas funções no ponto x = 5 .

Para resolver todos esses itens precisamos relembrar de algumas coisinhas sobre derivadas

  • A derivada da soma/subtração, é a soma/subtração das derivadas! Isso vai ser super útil para resolver as letras (a) e (b). Lembrando que multiplicar a função por uma constante (tipo aquele 2 que aparece na letra (b)), quando derivarmos essa função, a derivada fica multiplicada pela mesma constante, beleza?
  • Quando a derivada envolve o produto de funções? Aí aplicamos a regra do produto! Ela é assim, seja o produto de duas funções a e b , a derivada desse produto é
  • a b ' = a ' b + b ' a

  • Quando a derivada envolve o quociente de funções? Aplicamos a regra do quociente! Ela é assim, sejam duas funções a e b , a derivada do quociente a / b dessas funções é

a b ' = a ' b - b ' a b 2

E aqui você precisa se ligar qual é a função que está no numerador e no denominador! Se você inverte as funções, o resultado vai ser outro! Então se liga aí!

E é isso! Bora começar?

Passo 2

Letra (a):

  1. f + g ' 5
  2. A derivada da soma é a soma das derivadas! Então temos

    f + g ' 5 = f ' 5 + g ' ( 5 )

    E retomando as informações sobre f e g que foram dadas temos

    f ' 5 = 6

    g ' 5 = 2

    Agora é só substituir

    f + g ' 5 = f ' 5 + g ' 5 = 6 + 2 = 8

    Tranquilo? Vamos para a letra (b)?

    Passo 3

    Letra (b):

  3. 2 f - g ' 5

A derivada da subtração é a subtração das derivadas, então saca só

2 f - g ' 5 = 2 f ' 5 - g ' ( 5 )

E lembra que falei da constante? Ela vai multiplicar a derivada de f , sem problema nenhum! Resgatando as informações das derivadas

f ' 5 = 6

g ' 5 = 2

É só substituir

2 f - g ' 5 = 2 f ' 5 - g ' 5 = 2 6 - 2 = 10

Beleza?

Passo 3

Letra (c):

c )   f g ' 5

A derivada do produto é encontrada aplicando a regra do produto!

a b ' = a ' b + b ' a

Aqui temos a = f e b = g em x = 5 :

f g ' 5 = f ' 5 g 5 + g ' ( 5 ) f ( 5 )

Os valores das funções f e g e suas derivadas em x = 5 são:

f 5 = 1

f ' 5 = 6

g 5 = - 3

g ' 5 = 2

Agora é só substituir

f g ' 5 = f ' 5 g 5 + g ' 5 f 5 = 6 . - 3 + ( 2 ) ( 1 )

f g ' = - 18 + 2 = - 16

Beleza?

Passo 4

Letra (d):

Nesse item o problema pede a derivada da razão das funções f e g

d )   f g ' ( 5 )

Então aqui é aplicar a regra do quociente que falei lá no passo 1 para você. Lá a função que estava no denominador era b , aqui é a g . Já no numerador era a a aqui é a f . Então é só prestar atenção e substituir direitinho

a b ' = a ' b - b ' a b 2

Com a = f e b = g em ( 5 ) :

f g ' ( 5 ) = f ' 5 g 5 - g ' ( 5 ) f ( 5 ) g 2 ( 5 )

Os valores das funções f e g e suas derivadas em x = 5 são:

f 5 = 1

f ' 5 = 6

g 5 = - 3

g ' 5 = 2

Agora é só substituir

f g ' 5 = f ' 5 g 5 - g ' 5 f 5 g 2 5 = 6 . ( - 3 ) - ( 2 ) ( 1 ) - 3 2

f g ' 5 = - 18 - 2 9 = - 20 9

Tudo bem, até aqui? Vamos para a última letra?

Passo 5

Letra (e):

Nesse item o problema pede novamente a derivada da razão das funções f e g , mas agora em posições invertidas na fração!

e )   g f ' ( 5 )

Então aqui é aplicar a regra do quociente que falei lá no passo 1 para você. Lá a função que estava no denominador era b , aqui é a f . Já no numerador era a a aqui é a g . Então é só prestar atenção e substituir direitinho

a b ' = a ' b - b ' a b 2

Com a = g e b = f em ( 5 ) :

g f ' ( 5 ) = g ' 5 f 5 - f ' ( 5 ) g ( 5 ) f 2 ( 5 )

Os valores das funções f e g e suas derivadas em x = 5 são:

f 5 = 1

f ' 5 = 6

g 5 = - 3

g ' 5 = 2

Agora é só substituir

g f ' 5 = g ' 5 f 5 - f ' ( 5 ) g ( 5 ) f 2 ( 5 ) = 2 . ( 1 ) - ( 6 ) ( - 3 ) 1 2

f g ' 5 = 2 + 18 1 = 20

Beleza? Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

a )   8

b )   10

c ) - 16

d ) - 20 9

e )   20

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )