20 – Derive.

u) f x = x 5 x 2

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha com você? Bora resolver mais uma questão junto com a gente?

A primeira coisa que precisamos é saber o que a questão está querendo que a gente faça. Nessa questão vamos precisar encontrar a derivada da função

f x = x 5 x 2

Mas calma!!! Vem comigo que vou lhe ajudar a deixar as coisas um pouco mais fáceis por aqui! 😉👍

Repare que essa função é um produto de duas outras funções, a função x e a função 5 x 2 .

Sendo assim, vamos usar a regra do produto que diz o seguinte:

Se

f x = g x ⋅ h x

Então

f ' x = g ' x · h x + g x ⋅ h ' x

Agora só precisamos calcular as derivadas isoladamente e depois encaixar nessa relação. Então, partiuuuu!!!

Passo 2

Nossa função é:

f x = x 5 x 2

E vamos encará-la como f x = g x ⋅ h x

Assim faremos

g x = x

e

h x = 5 x 2

Agora vamos atrás das derivadas g ' x e h ' x

Começando com g ' x . Como g x = x é uma potência de grau 1, sua derivada é calculada com a regra do expoente, e ficamos com:

g x = x

g ' x = 1

Perfeito!

Passo 3

Agora vamos fazer a derivada da função h x = 5 x 2

Calma que pra essa função temos uma regrinha toda especial. Quando temos uma constante elevada a uma outra função, nós podemos usar essa regra aqui

y = a u → y ' = a u ⋅ ln ⁡ a ⋅ u '         s e   a > 0   e   a ≠ 1

Para a nossa função, teremos a = 5 e u = x 2 . Então, bora aplicar a regra

h x = 5 x 2

h ' x = 5 x 2 ⋅ ln ⁡ 5 ⋅ 2 x

Que pode ser escrita como

h ' x = 5 x 2 ⋅ 2 x ⋅ ln ⁡ 5

Jogando o 2 para o expoente do argumento do ln ⁡ ficamos com:

h ' x = 5 x 2 x ln ⁡ 5 2

h ' x = 5 x 2 x ln ⁡ 25

Maravilha! Agora já temos tudo que precisávamos, basta encaixar na regra do produto as funções e suas derivadas.

Passo 4

Lembrando que buscamos

f ' x = g ' x · h x + g x ⋅ h ' x

E vimos que

g x = x

g ' x = 1

h x = 5 x 2

h ' x = 5 x 2 x ln ⁡ 25

Assim,

f ' x = 1 ⋅ 5 x 2 + x ⋅ 5 x 2 x ln ⁡ 25

E dando aquela arrumadinha básica, ficamos com

f ' x = 5 x 2 ( 1 + x 2 ln ⁡ 25 )

E isso é tudo pessoal. Bora pra próxima!

Resposta

f ' x = 5 x 2 ( 1 + x 2 ln ⁡ 25 )

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