4. Derive as funções abaixo:

f) q x = 1 - x t g x + c o t g x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função q x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso temos o quociente entre duas funções, então podemos usar a regra do quociente para nos ajudar.

Dada uma função q x = f x g x , pela regra do quociente, a derivada de k x é

q ' x = f ' x · g x - f x · g ' x g 2 x

Entendeu? Bora ver no nosso caso como é! 😉

Passo 2

Se q x = 1 - x t g x + c o t g x , então f x = 1 - x e g x = t g x + c o t g x

Aplicando a regra, temos

q ' x = d 1 - x d x · t g x + c o t g x - 1 - x · d t g x + c o t g x d x t g x + c o t g x 2

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

d 1 - x d x = d 1 d x - d x d x

d t g x + c o t g x d x = d t g x d x + d c o t g x d x

Pelo método de derivada polinomial, temos que

d 1 - x d x = - 1 2 x

Já pelo teorema fundamental do cálculo, podemos obter as derivadas de t g x e c o t g x

d t g x + c o t g x d x = s e c 2 x - c o s s e c 2 x

Substituindo em q ' x

q ' x = - 1 2 x · t g x + c o t g x - 1 - x · s e c 2 x - c o s s e c 2 x t g x + c o t g x 2

Simplificando...

q ' x = - t g x + c o t g x 2 x + 1 - x s e c 2 x - c o s s e c 2 x t g x + c o t g x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

q ' x = - t g x + c o t g x 2 x + 1 - x s e c 2 x - c o s s e c 2 x t g x + c o t g x 2

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