4. Derive as funções abaixo:

e) p x = sec ⁡ x - t g x cos ⁡ x + s e n x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função p x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso temos o quociente entre duas funções, então podemos usar a regra do quociente para nos ajudar.

Dada uma função p x = f x g x , pela regra do quociente, a derivada de k x é

p ' x = f ' x · g x - f x · g ' x g 2 x

Entendeu? Bora ver no nosso caso como é! 😉

Passo 2

Se p x = sec ⁡ x - t g x cos ⁡ x + s e n x , então f x = sec ⁡ x - t g x e g x = cos ⁡ x + s e n x

Aplicando a regra, vamos obter que

p ' x = d sec ⁡ x - t g x d x · cos ⁡ x + s e n x - sec ⁡ x - t g x · d cos ⁡ x + s e n x d x cos ⁡ x + s e n x 2

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

d sec ⁡ x - t g x d x = d sec ⁡ x d x - d t g x d x

d cos ⁡ x + s e n x d x = d cos ⁡ x d x + d s e n x d x

As derivadas de sec ⁡ x , t g x , cos ⁡ x e s e n x são obtidos pelo teorema fundamental do cálculo, pois não há uma maneira trivial de obter essas derivadas

d sec ⁡ x - t g x d x = sec ⁡ x t g x - sec 2 ⁡ x

d cos ⁡ x + s e n x d x = - s e n x + cos ⁡ x

Substituindo em p ' x

p ' x = sec ⁡ x t g x - sec 2 ⁡ x · cos ⁡ x + s e n x - sec ⁡ x - t g x · - s e n x + cos ⁡ x cos ⁡ x + s e n x 2

Organizando um pouquinho...

p ' x = sec ⁡ x t g x - sec ⁡ x cos ⁡ x + s e n x + sec ⁡ x - t g x s e n x - cos ⁡ x cos ⁡ x + s e n x 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

p ' x = sec ⁡ x t g x - sec ⁡ x cos ⁡ x + s e n x + sec ⁡ x - t g x s e n x - cos ⁡ x cos ⁡ x + s e n x 2

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