Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Ver Teoria

Enunciado

Passo 1

É o seguinte: temos que descobrir, com base no gráfico da função f ( x , y ) , qual é o gráfico da derivada parcial de f em relação a x e em relação a y .

Vamos primeiro observar bem o gráfico de f :

Temos que nossa função, em alguns momentos meio que tem um comportamento constante no eixo x e em outros momentos, tem um comportamento constante ao longo do eixo y .

Passo 2

Beleza, agora, o que é a derivada parcial em relação a x ?

É quando fixamos os valores de y da nossa função como constante e derivamos em relação a x , observando quando o comportamento da nossa função com relação a variável x .

O mesmo é válido para a derivada parcial em relação a y , só que trocando o x por y no que eu acabei de dizer: fixamos os valores de x da nossa função como constante e derivamos em relação a y , observando quando o comportamento da nossa função com relação a variável y .

Passo 3

Agora, observando bem as figuras ( a ) e ( b ) .

Conseguimos ver que na figura ( a ) :

Temos que o comportamento dessa função ao longo do eixo x é idêntico ao comportamento da nossa função f ( x , y ) da figura ( c ) ao longo do eixo x .

Isso significa que para essa figura, fixamos os valores de x da nossa função como constante e derivamos em relação a y . Logo, ela representa a ∂ f ∂ y .

Já se observarmos a figura ( b ) :

Temos que o comportamento dessa função ao longo do eixo y é idêntico ao comportamento da nossa função f ( x , y ) da figura ( c ) ao longo do eixo y .

Assim, para essa figura, fixamos os valores de y da nossa função como constante e derivamos em relação a x . Logo, ela representa a ∂ f ∂ x .

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,       e m     1,2
Seja F → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j →   , x , y ≠ 0,0 .c) F → é conservativo ? Por quê ?
Determine a função f : R 2 → R   cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )