Seja F → x , y , z = y z e x z i + e x z j + x y e x z k .

  1. Mostre que F → x , y , z é conservativo

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial F → x , y , z e pede para a gente ver se isso é um campo conservativo... Eita! A gente tem que lembrar que se F → x , y , z   é um campo conservativo, então a gente tem que ter que o rotacional desse cara tem que ser igual ao vetor nulo

∇ × F → x , y , z =   0 →

Para calcular o rotacional de alguém, a gente faz o determinante dessa matriz aqui

∇ × F → x , y , z = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x x , y , z F y x , y , z F z x , y , z

Agora a gente precisa só completar essa matriz com aqueles F x ,   F y e F z ali. Esses caras são as componentes do nosso campo F → ( x , y , z ) . Como a gente tem

F → x , y , z = y z e x z i + e x z j + x y e x z k

Temos

F x x , y , z = y z e x z F y x , y , z =   e x z F z x , y , z = x y e x z

Então a matriz que a gente tem que calcular o determinante é

i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z e x z e x z x y e x z

Se der 0 → , o campo é conservativo, se não, não é!

Passo 2

Vamos calcular esse determinante doido aí. Como é uma matriz 3 × 3 a gente usa a regra de Sarrus. A gente duplica as duas primeiras colunas

i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z e x z e x z x y e x z i j ∂ ∂ x ∂ ∂ y y z e x z e x z

Primeiro a gente soma os produtos dessas diagonais que eu marquei aqui

Isso vai nos dar

i ∂ ∂ y x y e x z + j   ∂ ∂ z y z e x z +   k   ∂ ∂ x e x z = i   x e x z + j   y e x z + x y z e x z + k   ( z e x z )

Passo 3

Agora a gente precisa calcular a soma dos produtos dos termos das diagonais que eu marquei aqui

Isso nos dá

  k   ∂ ∂ y y z e x z +   i ∂ ∂ z e x z + j   ∂ ∂ x x y e x z = k   z e x z +   i   x e x z + j   y e x z + x y z e x z

Passo 4

O determinante vai ser a subtração do nosso primeiro resultado com esse segundo

∇ × F → x , y , z =   i   x e x z + j   y e x z + x y z e x z + k   z e x z - [ k   z e x z +   i   x e x z + j   y e x z + x y z e x z ]

Como só devemos somar ou subtrair termos da mesma componente:

= i   x e x z -   x e x z +   j   y e x z + x y z e x z -   y e x z -   x y z e x z + k   ( z e x z -   z e x z )

Logo

∇ × F → x , y , z = 0 i + 0 j + 0 k = 0 →

Então nosso campo é conservativo mesmo.

Resposta

F → x , y , z   é   c o n s e r v a t i v o

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