A frase: Se g :   R 2 → R é uma função tal que ∇ g p = ( 0,0 ) em um ponto p ∈ R 2 e v → é um vetor unitário, então ∂ g ∂ v → p = 0 * é .....

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver essa questão teórica juntos?

Mas calma que vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Seja uma função g e seja um ponto p pertencente ao mesmo conjunto e que g seja diferenciável em p . Aí podemos dizer que o gradiente de g em p   é:

∇ g p = g x p i ^ + g y p j ^

Esse vetor é o vetor gradiente da função g ! Ele indica a direção da maior taxa de variação.

Beleza até aqui?

Passo 2

Se o gradiente é zero em algum ponto p , ou seja:

g x ( p ) = g y ( p ) = 0

Isso significa que a função não está crescendo, nem decrescendo. Ela está em um ponto crítico.

Esse ponto crítico pode ser: de máximo, de mínimo ou de sela.

E quando quisermos a variação da função em uma certa direção?

Passo 3

Temos também a derivada direcional!

Podemos saber a taxa de variação da função em relação a um vetor unitário v → qualquer:

∂ g ∂ v →

E é aqui que usamos o gradiente!

Como relembrar é viver: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função g com o vetor unitário v → :

∂ g ∂ v → = ∇ → g ⋅ v →

E como o gradiente tem componentes nulas, não importa quais sejam as componentes de v → , a derivada direcional é SEMPRE zero:

∇ → g ⋅ v → = 0,0 ⋅ a , b = 0 . a + 0 . b = 0

Tranquilo?

Então essa frase é verdadeira.

Resposta

v e r d a d e i r a

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )