Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

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Enunciado

7. As curvas definidas a seguir se interceptam no ponto 2 π , π , formando um ângulo de π 2 rad.

γ 1 = { x , y ∈   R 2 ; x y - cos ⁡ x - 2 y = 2 π 2 - 1 } e γ 2 = { x , y ∈ R 2 ; y = f x }

a) Encontre um valor possível para f ' 2 π . Quantas soluções tem esse problema?

b) Resolva o mesmo problema supondo que o ângulo é π 6 rad.

Sugestão: Nos dois casos encontre um vetor u → perpendicular a curva γ 1 em 2 π , π , um vetor v → tangente a curva γ 2 em 2 π , π e use a fórmula do ângulo θ entre esses vetores, cos ⁡ θ = u → . v → u → v →  

Passo 1

a)

Vamos começar encontrando um vetor u → normal a curva γ 1 em 2 π , π . Podemos encontra-lo calculando o gradiente da função: F = x y - cos ⁡ x - 2 y - 2 π 2 - 1 = 0 .

∇ F x , y = y + s e n x - 2 y ,   x - 2 s e n x - 2 y

No ponto 2 π , π temos:

∇ F 2 π , π = π , 2 π

Como estamos interessados apenas na direção e sentido desse vetor, podemos adotar u → = 1,2 pois temo a mesma direção e sentido de π , 2 π

Passo 2

Queremos encontrar um vetor tangente a curva γ 2 no ponto 2 π , π . Podemos parametrizar essa curva. Fica assim:

γ 2 x = x , f x

Então, um vetor tangente a curva será:

γ ' 2 x = 1 , f ' x

No ponto 2 π , π temos:

γ ' 2 2 π = 1 , f ' 2 π

v → = 1 , f ' 2 π

Passo 3

Agora repare o seguinte: As curvas formavam um ângulo de 90 ° . Encontramos um vetor normal a curva γ 1   u → e um vetor tangente a curva γ 2 v → . Portanto, esses vetores ou formam um ângulo de 180° entre si ou formam 0°.

Veja o sinal da primeira componente dos vetores u → e v → , eles coincidem. Logo a única possibilidade é que eles formam um ângulo de 0°.

Usando a fórmula cos ⁡ θ = u → . v → u → v → , vamos ter:

cos ⁡ 0 = 1,2 . 1 , f ' 2 π 5 . 1 + f ' 2 π 2

Resolvendo encontramos apenas uma solução:

f ' 2 π = 2

Passo 4

b) Agora repare o seguinte: As curvas formavam um ângulo de 30 ° . Encontramos um vetor normal a curva γ 1   u → e um vetor tangente a curva γ 2 v → . Portanto, esses vetores ou formam um ângulo de 120° entre si ou formam 60°.

Veja o sinal da primeira componente dos vetores u → e v → , eles coincidem. Logo a única possibilidade é que eles formam um ângulo de 60°.

Usando a fórmula cos ⁡ θ = u → . v → u → v → , vamos ter:

cos ⁡ 60 = 1,2 . 1 , f ' 2 π 5 . 1 + f ' 2 π 2

Resolvendo encontramos duas soluções:

f ' 2 π = - 8 ± 5 3 11

Resposta

a) Uma solução: f ' 2 π = 2

b) Duas soluções: f ' 2 π = - 8 + 5 3 11 e f ' 2 π = - 8 - 5 3 11

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