Seja T ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto P   =   ( 3 ,   4 ) , determine:

b) a direção e sentido a partir do ponto P em que a temperatura aumenta mais rapidamente e a taxa de crescimento da temperatura nessa direção

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu uma função que representa a temperatura em uma chama de aço plana

T ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2

E um determinado ponto

P = ( 3,4 )

Agora nesse item o problema pediu para encontrar qual é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir do ponto P

Mas o que isso significa?

A direção e sentido de maior aumento é sempre a direção do vetor gradiente

E a taxa de crescimento? A taxa é o módulo do gradiente!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Aplicando o gradiente na função temperatura

T = x 2 + y 2

∇ T = ( 2 x , 2 y )

E aplicado no ponto P 3,4

∇ T 3,4 = ( 6,8 )

Sendo assim a temperatura, a partir do ponto P , aumenta mais rapidamente sua temperatura na direção do vetor ∇ T 3,4 = ( 6,8 )  

Tudo bem até aqui?

E a taxa máxima de crescimento? É o módulo desse vetor

∇ T = 6 2 + 8 2 = 100 = 10

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

∇ T 3,4 = ( 6,8 )

∇ T = 10

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
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Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )