2.1. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , ache o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para achar a reta tangente à curva de nível 8 de f no ponto 2,1 . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos o vetor gradiente de f no ponto 2,1 e obter a reta tangente a 2,1 , f 2,1 .

Parece de boa? 😐

Um vetor gradiente de uma função é dado por

∇ f x , y = f x x , y , f y x , y

Já a reta tangente a um ponto a partir do gradiente é dado por

∇ f x , y · x - x 0 , y - y 0 = 0

Já que ∇ f x , y e o vetor tangente a partir x - x 0 , y - y 0 são perpendiculares.

Sacou? Bora lá! 😎

Passo 2

Se a função f é dada por

f x , y = x 2 + 4 y 2

Seu vetor gradiente é dado por

∇ f x , y = ∂ x 2 + 4 y 2 ∂ x , ∂ x 2 + 4 y 2 ∂ y

∇ f x , y = 2 x , 8 y

Assim, no ponto x 0 , y 0 = 2,1 , temos

∇ f 2,1 = 2 2 , 8 1

∇ f 2,1 = 4 , 8

E como vimos no passo 1, a reta tangente a f no ponto 2,1 é dado por

∇ f 2,1 · x - 2 , y - 1 = 0

4,8 · x - 2 , y - 1 = 0

Calculando o produto interno, vamos obter

4 x - 2 + 8 y - 1 = 0

4 x - 8 + 8 y - 8 = 0

y = 16 - 4 x 8

y = 2 - x 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

A curva de nível em k = 8 é dada por

f x , y = x 2 + 4 y 2 = 8

x 2 8 + y 2 2 = 1

Esboçando essa elipse, a reta tangente e o vetor gradiente unitário, temos

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∇ f 2,1 = 4,8

y = 2 - x 2

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )