Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

V ( x , y , z )   =   e z 1 + x ² + y ²

a) Determine a taxa de variação do potencial em P (−1, −1, 1) na direção do vetor

v = 2î − ĵ + 2k .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão define uma função escalar que, para cada ponto do espaço tridimensional com coordenadas (x, y, z) nos retorna o potencial elétrico. Sendo assim, podemos calcular a variação dessa função através do vetor gradiente, definido como:

∇ f ( x , y , z ) = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Esse vetor, em cada ponto do espaço, nos aponta a direção espacial de maior variação da função V(x,y,z) no ponto em questão. No entanto, não é isso que a questão nos pede: ela quer saber a taxa de variação do potencial na direção (2,-1,1) no ponto (-1,-1,1). Para determinar a taxa de variação, precisamos considerar a projeção do gradiente nesse ponto ao longo da direção dada pelo vetor (2,-1,1). Então, primeiro, vamos lá calcular o gradiente do potencial!

Passo 2

Calculando a derivada de V(x,y,z) em relação à x, considerando y e z como constantes e utilizando a regra da cadeia, obtemos

∂ ∂ x e z 1 + x ² + y ² = ∂ ∂ x e z ( 1 + x ² + y ² ) ⁻ ¹ = - e z ( 1 + x ² + y ² ) ² × 2 x

No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor - e ( 1 + ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² ) ² × 2 ( - 1 ) = 2 e 9 . Agora, calculando a derivada de V em relação à y, considerando dessa vez x e z como constantes, obtemos:

∂ ∂ y e z 1 + x ² + y ² = ∂ ∂ y e z ( 1 + x ² + y ² ) ⁻ ¹ = - e z ( 1 + x ² + y ² ) ² × 2 y

No ponto (-1, -1, 1), a derivada em relação à y assume o mesmo valor acima: - e ( 1 + ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² ) ² × 2 ( - 1 ) = 2 e 9 . Agora, só precisamos derivar em relação à z: Como x e y são constantes durante essa derivação, e como a derivada da exponencial é ela mesma, temos que a derivada é igual à própria função:

∂ ∂ z e z 1 + x ² + y ² = 1 1 + x ² + y ² ∂ ∂ z e z = e z 1 + x ² + y ²

No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor e 1 1 + ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² = e 3 . Então, no ponto (-1, -1, 1), o vetor gradiente é descrito pelas componentes

∇ f ( - 1 , - 1,1 ) = 2 e 9 , 2 e 9 ,   e 3

Então, agora, só precisamos fazer o produto escalar com o vetor v para descobrir a taxa de variação na direção dele. Então bora!

Passo 3

Como o vetor v possui coordenadas (2, -1, 2), vemos que ele não é unitário, pois 2 ² + ( - 1 ) ² + 2 ² = 9 . Portanto, para definirmos um vetor unitário, de modo que o seu produto escalar com o gradiente nos dê apenas a taxa de variação, precisamos dividir suas componentes pelo seu módulo que, como acabamos de calcular, é igual à 9 = 3 . Então, vamos redefinir o vetor v como

v = 2 3 ,   - 1 3 ,   2 3

Agora sim! Agora podemos fazer o produto escalar do vetor v com o gradiente! Como o vetor gradiente possui coordenadas 2 e 9 , 2 e 9 ,   e 3 , temos que o produto escalar desses dois vetores é:

2 e 9 × 2 3 - 2 e 9 × - 1 3 + e 3 × 2 3 = 2 e 27 + 2 e 9 = 8 e 27

Logo, a taxa de variação do potencial em P (−1, −1, 1) na direção do vetor

v = 2î − ĵ + 2k é 8 e 27 .

Resposta

8 e 27

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
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