25 Encontre o vetor gradiente de cada uma das funções:

(c) f x , y = e x 2 - y 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter o vetor gradiente da função f x , y = e x 2 - y 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O vetor gradiente de uma função é obtido a partir das suas derivadas parciais, ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de f em função de x

∂ f ∂ x = ∂ e x 2 - y 2 ∂ x

Nesse caso, f é uma função composta, então para o cálculo da sua derivada, temos que aplicar a regra da cadeia.

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - y 2 ∂ x ∂ e u ∂ u

∂ f ∂ x = 2 x e u

∂ f ∂ x = 2 x e u

Voltando u para x 2 - y 2 ...

∂ f ∂ x = 2 x e x 2 - y 2

Para y agora, temos

∂ f ∂ y = ∂ e x 2 - y 2 ∂ y = ∂ x 2 - y 2 ∂ y ∂ e u ∂ u

∂ f ∂ y = - 2 y e u

∂ f ∂ y = - 2 y e u

Substituindo u

∂ f ∂ y = - 2 y e x 2 - y 2

Substituindo ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no vetor gradiente, chegamos em

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = 2 x e x 2 - y 2 , - 2 y e x 2 - y 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∇ f = 2 x e x 2 - y 2 , - 2 y e x 2 - y 2

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