2.4. Considere uma função f : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

(i) a imagem da curva plana γ t = c o t g t , s e c 2 t , para t ∈ ] 0 , π / 2 [ , esteja contida numa curva de nível de f .

(ii) a imagem da curva no espaço σ u = u 3 , u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 , com u > 0 , esteja contida no gráfico de f .

a. Determine ∇ f 1,2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular o gradiente de f no ponto 1,2 . No enunciado foi dito que a curva plana γ t = c o t g t , s e c 2 t pertence f em uma curva de nível já a imagem de f é dada pela superfície σ u = u 3 , u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 .

Tem ideia de como essas informações podem nos ajudar? 😐

Se γ t é uma curva de nível de f , podemos dizer que ∇ f · γ ' t = z t , assim, derivando γ t e obtendo o valor de t = t 0 que satisfaz o ponto 1,2 podemos encontrar o gradiente ∇ f 1,2 .

Depois fazendo o mesmo com a curva σ u , podemos obter um sistema linear.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para γ t = 1,2 , temos que

c o t g t , s e c 2 t = 1,2

c o t g t = 1 sec 2 ⁡ t = 2

Da primeira equação, vamos obter

c o t g t = 1 → t = t g - 1 1

t = π 4

Derivando γ t , temos

γ t = c o t g t , s e c 2 t

γ ' t = d c o t g t d t , d s e c 2 t d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, vamos obter

γ ' t = c o s e c 2 t , 2 s e c 2 t tan ⁡ t

Aplicando o ponto 1,2 fazendo t = π 4 , chegamos em γ ' π 4 = c o s e c 2 π 4 , 2 s e c 2 π 4 tan ⁡ π 4

Se c o s s e c t = 1 s e n t e sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

γ ' π 4 = 1 s e n π 4 2 , 2 1 cos ⁡ π 4 2 tan ⁡ π 4

γ ' π 4 = 1 2 2 2 , 2 1 2 2 2 1

γ ' π 4 = 2 2 , 2 2 2

γ ' π 4 = 2,4

Calculando o produto interno entre ∇ f e γ ' π 4 , temos

∇ f · γ ' t = z t = 0

f x , f y · 2,4 = 0

2 f x + 4 f y = 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Temos que fazer o mesmo procedimento para a curva σ u , ou seja

σ u = u 3 , u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1

σ ' u = 1 3 u 2 3 , 2 u , …

Para satisfazer a igualdade, temos que ter u = 1 , ou seja

u 3 , u 2 + 1 = 1,2 → u = 1

Aplicando u = 1 em σ ' u

σ ' 1 = 1 3 , 2

Calculando o produto interno ∇ f com σ ' 1

f x , f y · 1 3 , 2 = z u

f x 3 + 2 f y = z u

Nesse caso, temos

z u = u 3 2 - u 3 2 + 1

Que é o terceiro termo de σ u

Derivando z , vamos obter

z ' u = 3 u 2 2 - 1 6 u 2 / 3

z ' 1 = 3 2 - 1 6

z ' 1 = 4 3

Substituindo na equação do problema

f x 3 + 2 f y = 4 3

Fazendo z = 1

Bacana, não é? 👀

Passo 4

Com isso, temos um sistema de duas variáveis e duas equações

2 f x + 4 f y = 0 f x 3 + 2 f y = 4 3

Isolando f x na segunda equação e substituindo na primeira...

f x 3 + 2 f y = 4 3 → f x 3 = 4 3 - 2 f y

f x = 4 - 6 f y

Substituindo na primeira

2 f x + 4 f y = 0

2 4 - 6 f y + 4 f y = 0

4 f y - 12 f y + 8 = 0

f y = 1

Assim, substituindo em f x

f x = 4 - 6 1

f x = - 2

E finalmente, obtemos que o gradiente de f no ponto 1,2 é dado por

∇ f 1,2 = - 2,1

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∇ f 1,2 = - 2,1

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
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Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )