Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Seja S a superfície de equação a x 2 + b x y + z 3 = 10 , onde a e b são constantes. Para que a reta r t = ( 1 + t ,   1 - t ,   2 + 2 t ) , t ∈ R , seja tangente a S no ponto P = ( 1,1 , 2 ) , o valor de b deve ser:

  1. 14
  2. 1
  3. Nenhuma das demais alternativas
  4. - 12
  5. 10

Passo 1

Pensa comigo: uma informação tranquila de achar em relação a uma superfície é seu vetor normal num ponto.

Mas a questão fala que uma reta é tangente a superfície num ponto. E uma informação tranquila de achar de uma reta tangente é o vetor diretor dela, beleza?

Qual seria a relação entre esses dois vetores? Um tangente a superfície e um normal a ela em um ponto? Eles são perpendiculares! E quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é nulo.

Então se a gente achar o vetor diretor da reta e o vetor normal à superfície no ponto ( 1 , 1,2 ) , e fizermos o produto escalar entre eles ser nulo, a gente acha uma expressão para encontrar b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar o vetor diretor u → da reta. As componentes dele são as constantes multiplicadas pelo t em cada componente. Então fica assim:

r t = ( 1 + t ,   1 - t ,   2 + 2 t )

r t = 1,1 , 2 + 1 , - 1,2 t

u → = ( 1 , - 1,2 )

Passo 3

Agora vamos achar o vetor normal à superfície no ponto ( 1 , 1,2 ) . Para isso precisamos calcular ∇ F x , y , z , onde

a x 2 + b x y + z 3 = 10

F x , y , z = a x 2 + b x y + z 3 - 10 = 0

Derivando em relação a cada variável:

∇ F x , y , z = 2 a x + b y ,   b x , 3 z 2

No ponto 1 , 1,2 :

∇ F 1,1 , 2 = 2 a + b ,   b , 12

Passo 4

Fazendo o produto escalar entre nossos vetores ser nulo:

∇ F 1,1 , 2 ⋅ u → = 0

2 a + b ,   b , 12 ⋅ 1 , - 1,2 = 0

2 a + b - b + 24 = 0

2 a = - 24 ∴ a = - 12

Passo 5

Ih achamos o a , mas a gente queria o b , como faz? Calma, a gente tem a equação da superfície e sabe que o ponto 1 , 1,2 pertence a superfície. Então podemos substituir esse ponto na superfície e ficar com:

a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 3 = 10 ∴ a + b = 2

Sabendo que a = - 12

- 12 + b = 2 ∴ b = 14

Logo, nossa alternativa é a letra a.

Resposta

Letra a

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