Questão 4 – Considere a função H x , y , z = G 2 x 2 + y z , x y - y z , x y z 1 3 , x - 1 , onde G : R 4 → R é uma função diferenciável.

(b) Se H 2,2 , 2 = 1 , calcule aproximadamente H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos estimar o valor de H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 sabendo que H 2,2 , 2 = 1 .

Parece simples? 👀

No item anterior, calculamos que ∇ H 2,2 , 2 = 10,4 , - 2 . Portanto, com essa taxa de variação que é ∇ H , podemos estimar o valor de H nesse novo ponto.

Veja só! 😉

Passo 2

Para estimar o valor de H , precisamos de um ponto próximo e da taxa de variação desse ponto.

Assim, se apontarmos essa taxa de variação para a direção do ponto P = 2,1   ,   1,9   ,   1,8 que a gente tem interesse, vamos obter a aproximação.

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = H 2,2 , 2 + ∇ H 2,2 , 2 · P - 2,2 , 2

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = H 2,2 , 2 + ∇ H 2,2 , 2 · 2,1   ,   1,9   ,   1,8 - 2,2 , 2

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = H 2,2 , 2 + ∇ H 2,2 , 2 · 2,1 - 2   ,   1,9 - 2   ,   1,8 - 2

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = H 2,2 , 2 + ��� H 2,2 , 2 · 0 , 1   ,   - 0,1   ,   0,2

Substituindo H 2,2 , 2 e ∇ H 2,2 , 2 , temos

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = 1 + 10,4 , - 2 · 0 , 1   ,   - 0,1   ,   - 0,2

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = 1 + 10 · 0,1 + 4 · - 0,1 + - 2 · - 0,2

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = 1 + 1 - 0,4 + 0,4

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

H 2,1   ,   1,9   ,   1,8 = 2

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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