Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Origem do Exercício

Considere a função F x , y , z = x 3 y z . Calcular a gradiente da função F ( x , y , z ) .

  1. ∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k
  2. ∇ F = x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k
  3. ∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 y z 2 j - x 3 y z 2 k
  4. ∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 2 z y j - x 3 y z 2 k
  5. ∇ F = x 2 y 2 z i + x 3 y z 2 j + x 3 y 2 z 2 k

Passo 1

Para calcular o gradiente da função precisamos aplicar a seguinte fórmula:

∇ F = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Então a questão basicamente se reduz ao cálculo de três derivadas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar derivando F ( x , y , z ) em relação a x . Nesse caso, vamos pensar em y e z como constantes:

∂ ∂ x x 3 y z = y z ∂ ∂ x x 3 = y z 3 x 2 = 3 x 2 y z

E agora em relação a y :

∂ ∂ y x 3 y z = x 3 z ∂ ∂ y y = x 3 z 1 2 y = x 3 2 z y

E agora em relação a z :

∂ ∂ z x 3 y z = x 3 y ∂ ∂ z 1 z = x 3 y - 1 z 2 = - x 3 y z 2

Passo 3

Substituindo isso na fórmula, chegamos na seguinte resposta:

∇ F = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 2 z y j + - x 3 y z 2 k

Resposta

Letra (d).

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